Ударные волны в оболочках звезд - Климишин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
(15.31) решается совместно с (15.21), для чего это последнее также
записывается в безразмерных переменных. Энергия ударной волны обычно
представляется в виде
W = p10L5, (15.36)
где рх о - давление на исходном уровне, L - характерная длина. Это может
быть радиус звезды (L = R+) или же шкала высот (L = Н). Начальные
значения безразмерных величин ?0 и 50 - давления на фронте ударной волны
и энергии волны - подбираются таким образом, чтобы расчеты наилучшим
образом соответствовали данным наблюдений.
В заключение отметим, что подробное изложение метода Бринкли -
Кирквуда и его применение для интерпретации астрофизических наблюдений
содержится в работах Оджерса, Бхатнагара и Кушвахи (G.F. Odgers, R.S.
Kushwaha, 1960; M.S. Bhatnagar, R.S. Kushwaha, 1962, 1963a,6). Метод
Бринкли - Кирквуда допускает обобщение для расчета параметров ударной
волны, движущейся в неоднородной среде под произвольным углом 0 к нормали
(М. Saito, 1964), для учета поперечного магнитного поля (там же), для
анализа задачи о распространении ударных волн в неоднородной движущейся
среде (И.А. Климишин, А.Ф. Новак, 1970; А.Ф. Новак,1974). Обобщение
метода для учета давления и плотности энергии излучения дано в работе
Окуды (T.f Okuda, 1974), на случай движения изотермической ударной волны
в магнитном поле - в работах
С.А. Силича (1978, 1980). Пределы применимости метода Бринкли - Кирквуда
и сравнительный анализ всех аналитических методов даны в § 19.
§ 16. Метод характеристик (метод Уизема)
Система (6.1') - (6.3') дифференциальных уравнений космической
газодинамики в простейшем случае адиабатического движения может быть
сведена к дифференциальному уравнению второго порядка гиперболического
типа. Как известно, при решении уравнений этого типа используется метод
характеристик. Однако в космической газодинамике он практически не
употребляется. ДелЪ в том, что при установлении распределения параметра
газа (П) в пространстве (П, г, t) методом характеристик необходимо задать
его значение вдоль определенной кривой на плоскости (г, t). Такое условие
в газодинамике может быть получено, вероятно, лишь в двух случаях: а)
если движение газа обусловлено действием поршня, движущегося по наперед
заданному закону, или б) если скорость движения ударной волны,
возмущающей газ, является заданной функцией расстояния (времени).
Очевидно, что оба эти предположения для космических условий являются
искусственными.
По-видимому, впервые в космической газодинамике метод характеристик был
использован Копалом и Лином (Z. Kopal, С.С. Lin, 1951) при рассмотрении
задачи о вспышке новой звезды. С помощью этого метода проводились расчеты
поля скоростей и плотности в атмосферах пульсирующих переменных звезд RR
Лиры (Р.С. Ирошников, 1961) и W Девы (Ch. Whitney, 1956). В этой
последней работе предполагалось, что изотермическая атмосфера звезды
"снизу" подвергается воздействию поршня, движущегося по синусоидальному
закону.
97
Напомним основные исходные соотношения метода характеристик на примере
плоского адиабатического движения газа (давление и плотность связаны
законом р - Кру) в постоянном поле тяжести (ускорение <7 = = const). В
случае адиабатического движения с постоянным у дифференциалы давления и
плотности связаны с дифференциалом скорости звука
р
а (а2 - у -) соотношениями Р
2у р 2 р
dp =------------da, dp =-------- - da.
7 - 1 a 7 - 1a
Поэтому уравнения (б.*!*) при а = 0 и (6.2') можно переписать в
виде
2 да 2 да д и
- + и---------------------+ а - = О
7 - 1 Э t у - 1 Эх Эх
ди ди 2а да
- + и - + +0 = 0,
dt Эх 7 - 1 Эх
сложение и вычитание которых приводит к следующим уравнениям:
Э 2а Э 2а
- [и + gt ±----------] + (и ± а)- [и + gt ±----------] = 0.
(16.1)
dt 7-1 дх 7-1
Отсюда следует, что величины 2а
J± = и + gt ±--------
7- 1
- инварианты Рймана - сохраняют свое значение вдоль кривых dx
- = и ± а, dt
которые называются соответственно С+- и С_-характеристиками задачи. Это
линии на плоскости х, t, вдоль которых распространяются малые возмущения
давления и плотности, а также величины *7+ (вдоль ^-характеристики) и
*7_(вдоль С_-характеристики) .Их принято также называть условиями
направления. В каждый момент времени через определенную точку
пространства слабое возмущение (звуковая волна) может распространяться
"вправо" - в направлении движения газа и "влево" -против его движения.
Математическим следствием этого является возможность через каждую точку
плоскости (х, t) провести две характеристики: С+ и С_.
При численных расчетах дифференциалы в характеристических уравнениях
заменяются конечными разностями. На плоскости (х, t) пересечением двух
этих семейств характеристик образуется сетка. При расчетах находят
положения узловых точек на плоскости и приближенные значения параметров
газа в этих точках. Так, если параметры газа известны в точках / и 2 на
кривой х (г), то
1) из условий направления находят приближенное положение точки 3 (т.е.
