Ударные волны в оболочках звезд - Климишин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
/ Г - г о \ г
р = Ро ехр----------, А = -. (19.5)
\ Н J И
Здесь г - расстояние от центра звезды, г0 - начальное положение фронта
ударной волны, И - масштабная высота (г, г() и Н выражены в единицах
радиуса звезды), р0 - постоянная, п - индекс политропы. Очевидно, что в
случае любого непрерывного (без скачков) закона изменения плотности в
окрестности некоторой точки г * такой, что р(г^Ф 0, плотность р можно
/мл
аппроксимировать выражением р = р(/%) /-I
В каждом случае предполагалось, что сильная ударная волна образуется в
результате кратковременного движения поршня по направлению к внешним
слоям звезды. Параметры ударной волны находились сначала методом конечных
разностей (см. гл. 4), потом - методами Бринкли -
Кирквуда и Уизема. Уравнения J 15.14) - (15.26) и
(16.6) решались ме-
тодом Рунге - Кутта с использованием начальных данных, полученных методом
конечных разностей на момент остановки поршня.
Анализ проведенных расчетов показал, что сильная ударная волна движется
ускоренно, если А > а + 1, т.е. в сферическом случае при А > 3, и
замедленно при А < а + 1, и что закон движения сильной ударной волны в
неоднородной среде с распределением плотности типа (19.3) - (19.5) можно
аппроксимировать выражением
D = С(р/-а+,Г,/2 (19.6)
для замедляющихся волн и
D = С(рга+1)",/5 (19.7)
d In р
для ускоряющихся ударных волн. Используя обозначение А = --------------,
d In г
можно формулы (19.6) и (19.7) в окрестностях произвольной точки записать
в виде
cMn D
= L
d In г
108
А - (а+ 1)
_____ .
А - {а + 1)
А < о + 1,
(19.8)
А > о + 1.
Таблица 5. Зависимость безразмерного градиента скорости d 1пЬ d Inp,
ударной волны L ------------ от параметра т =---------
d In г d In г
т 48) 42) -г и сл со 7=4/3
/-кр Z- БК I ^ Z- кр Z- БК /V
0 -1,50 -0,50 -1,54 -1,63 -0,45 -1,53 -1,66 -0,37
2 -0,50 0,00 -0,52 -0,47 0,02 -0,51 -0,54 0,04
3 0,00 0,25 -0,07 -0,02 0,26 -0,04 -0,13 0,25
4 0,20 0,50 0,20 0,49 0,49
5 0,40 0,75 0,40 0,78 0,73
6 0,60 1,0 0,60 1,10 0,97 0,60 1,00 0,87
Если А = const, то выражения (19.8) можно использовать наравне с
(19.6) - (19.7) для установления соотношения между скоростями ударной
волны в двух произвольных точках Г! и г2. Сравнивая (19.7) с (19.1),
находим а(8) =0,20,Ь(8) =0,2 (1 +а).
Аппроксимационные формулы (19.6) и (19.7) получены на основе следующих
результатов:
а) Из автомодельного решения Л.И. Седова (1977) для точечного взрыва в
среде, плотность в которой изменяется по закону (19.3), следует /7? - (а
+ 1)
La ------------------------------------------, причем упомянутое решение
может быть использовано
при т < а + 1. С другой же стороны, из соотношения типа (19.2) имеем
/77 - а*
/ = ------ и следовательно, аппроксимация (19.2) вообще не может
4
быть использована при т < а + 1, в частности, при т = 0. Результаты
специальных расчетов (И.А. Климишин, Б.И. Гнатык, 1981) приведены в табл.
5 и для случая т = 5 на рис. 40. Здесь L (8>, /-(->), LKpi ^-бк и
d In D~
L у - соответствующие значения параметра L = -------------, полученные
из
d In г
аппроксимаций (19.7) и (19.2) методом конечных разностей (кр), методом
Бринкли - Кирквуда (БК) и методом Уизема (У). Так как метод Чизнелла дает
практически одинаковую с методом Уизема зависимость скорости ударной
волны от плотности среды, то расчеты этим методом не проводились.
Как видно, результаты расчетов методом конечных разностей не только
неплохо согласуются с аппроксимационной формулой (19.7), но и
соответствуют автомодельному решению в области его применимости, т.е. при
/77 < а + 1. Метод Бринкли - Кирквуда полностью применим при /77 < а + 1,
т.е. для замедляющихся ударных волн. Это понятно, так как сам метод
разработан для однородной среды. При т > а + 1 он дает уже неверные
результаты: скорость ударной волны оказывается существенно завышенной по
сравнению с ее истинным значением.
В то же время скорость ударной волны, найденная по методу Уизема, не
соответствует результатам расчета методом конечных разностей ни при каких
/77 - она всегда завышена, хотя при/77>а+ 1 и несколько меньше, чем это
следует из метода Бринкли - Кирквуда.
109
Рис. 40. Зависимость скорости сильной сферической ударной волны от
расстояния в оболочке, плотность в которой изменя-с/\пр
ется по закону--------= т = 5. Черные круж-
d\nr
ки - результаты расчета численным методом, штриховая линия - методом
Бринкли - Кирквуда, штрих-пунктирная - методом Уизема, сплошная линия -
аппроксимация (19.7).
Рис. 41. Изменение скорости сильной сферической ударной волны, движущейся
в политропной оболочке индекса п = 3,25. Сплошная линия - ход
автомодельного решения в области его применимости, остальные обозначения
те же, что и на рис. 40.
Рис. 42. Изменение скорости сильной сферической ударной волны в атмосфере
с экспоненциальным законом изменения плотности. Сплошная линия -
аппроксимация (19.7), остальные обозначения как на рис. 40.
Очевидно, что эти выводы имеют общий характер, т.е. они пригодны в случае
