Ударные волны в оболочках звезд - Климишин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
§ 18. Другие приближенные методы
В 50-х годах было развито и несколько других приближенных методов решения
уравнений космической газодинамики, которые, однако, оказались или весьма
сложными или же малоэффективными вследствие своей неточности. Поэтому мы
здесь ограничимся лишь кратким упоминанием о некоторых из них.
а) Линеаризация уравнений газодинамики
Метод линеаризации уравнений газодинамики при решении задачи о движении
слабых ударных волн в звездах был использован Уиземом (G.B. Whitham,
1953) и Симоном (R. Simon, 1955).
Уизем линеаризовал уравнение газодинамики по малой величине
Ф\г, t) = m(r, t) - М (г),
где т (г, t) - масса, находящаяся внутри сферы радиуса г в момент времени
t. Пусть М(г), Pi (г) и рj (г) - масса, заключенная внутри сферы радиуса
г, плотность и давление на расстоянии г от центра равновесной
конфигурации. Можно предположить, что звезда является изентропи-ческой, а
движение адиабатическим, т.е. что соотношение р - Кр7 выполняется не
только для каждого элемента вещества в процессе его движении, но и вдоль
звезды (с той же самой постоянной К). В этом случае из уравнений (6.1') -
(6.3') следует
1
4лг2 р {
р (г, t) = Pi +
ф\ dp /
1/2
Ъф
~аГ'
1
4 яг2 = *1 ¦
p(r, t) = р 1 +
Ъф Ъг '
(7 - 1 ) 3|
а]
Лиг2
Ъф
Ъг
2 рх
4 пг
Ъф
Ъг
(18.1)
Этими выражениями и определяются значения скорости и, плотности р и
давления р после того, как найдена функция ф (г, t). Линеаризованное
уравнение для функции ф (г, t) находится из уравнения для сохранения
импульса после подстановки в него соотношений (18.1) с учетом
Сф
(6.4) и соотношения g = g\ +-- так что
Ъ2ф
Ik2
а]
Э 2ф
17
-[*
2 2(2-7) а\
+-----------
7-1 ах J
Ъф 4nGp
- +
Ъг
Pl / I
гт
(18.2)
где а 1 =
dax
dr
Решение для функции ф (г, t) ищется далее в виде ряда.
104
Задавая определенный закон изменения скорости звука с расстоянием, Уизем
в конечном итоге и получил асимптотические выражения для прироста
скорости й давления на фронте ударной волны. Проведенный для ряда
конкретных звездных моделей анализ показал, однако, что решение
линеаризованного уравнения удовлетворительно описывает общую картину
движения лишь в случае, если скорость вещества за фронтом ударной волны в
два-три раза меньше его параболической скорости. Поэтому метод не может
быть использован при решении задач, связанных с выходом ударной волньч на
поверхность звезды, при котором происходит выброс части ее оболочки в
межзвездное пространство.
Симон, изучая движение слабой ударной волны в оболочке обобщенной модели
Роша (с распределением плотности по закону p = Br~0L) при решении
линеаризованных уравнений газодинамики использовал метод операционного
исчисления. Полученное решение может быть использовано в случае у = 4/3,
однако его нельзя применить при у = 5/3.
б) Разложение в ряд по параметру
Оригинальный, но чрезвычайно громоздкий метод для решения задачи о
движении ударной волны, возникшей в центре политропной звезды в
результате мгновенного выделения определенного количества энергии Е, был
предложен Сакураи (A. Sakurai, 1956). Задача характеризуется двумя
параметрами:
За,
. >/2
V 2nGpc
До = I -~ I , L = { , (18.3)
где рс, рс и ас - значения плотности, давления и скорости звука в центре
г
модели. В задаче вместо переменных г и t вводятся новые - х = - и
R R
z = - , где R характеризует положение фронта ударной волны. Пара-
R "
метры газа определяются через безразмерные функции
V2
(т)
- = f{x,z), - = я(г) (-) g{x,z), D рс
- = a(z)h(x,z).
Рс
(18.4)
Pl (z) р| <z)
Функции 7t(z) =----------- и о (z) =-------, определяющие параметры
Рс Рс
газа в заданной точке равновесной конфигурации через соответствующие их
значения в ее центре, находятся в виде степенных рядов относительно
переменной z из условия гидростатического равновесия политропной модели;
функции f(x,z),g{x,z) и h(x,z) также представляются рядами типа
f(x,z) = f0(x)+zfx(x)+z^f2(x) + ..., (18.5)
после чего функции ft (х) и т.д. находятся путем решения системы
уравнений газодинамики в /-м приближении. Для этого система уравнений
газодинамики с помощью замены операторов дифференцирования
Э 1 Э d D [ д д }
_ = f _ =_ (f_x)-+ z -
dr R Эх dt R { dx dz j
+ z - (18.6)
и подстановкой (18.4) и (18.5) сводится к безразмерному виду. В даль-
105
нейшем приравниваются выражения, стоящие при одинаковых степенях z,
вследствие чего получаются системы для определения функций fj(x), gf (х)
и hj (х). При этом используется также уравнение сохранения энергии в
интегральном виде. В конечном итоге Сакураи получил выражение для
скорости движения фронта ударной волны (при у = 7/5) в виде
о"'з4?Г'(1 (¦$*¦¦¦}¦ "871
где А = Rq!L. Однако в случае А > 1 (сильный взрыв) решение пригодно лишь
для центральных областей звезды и не может быть использовано для анализа
особенностей движения ударной волны в оболочке звезды.
в) Предположение о профиле ударной волны
Предположение об определенном профиле волны, т.е. о законе изменения
