Избранные сочинения по теории электромагнитного поля - Клерк Дж.
Скачать (прямая ссылка):
вниз, они заставили бы вихри вращаться так, как указано на рисунке. С
изложенной точки зрения мы можем рассматривать отношение электрического
тока к его силовым линиям аналогично отношению зубчатого колеса к
сцепленным с ним колесам.
В первой части этого труда мы исследовали отно-ношения между статическими
силами системы. Во второй части мы до сих пор исследовали связь
стационарных движений частей системы, рассматриваемой как некоторый
механизм. Нам остается еще исследовать динамику системы и определить
силы, необ-
О ФИЗИЧЕСКИХ СИЛОВЫХ линиях
13?7
ходимые для производства данных изменений в движениях различных частей.
Предложение VI. Определить кинетическую энергию вихревого движения данной
части среды.
Пусть a, j3, -у будут, как и в предложении II, составляющими скорости на
окружности, тогда кинетическая энергия вихрей в единице объема будет
пропорциональна плотности и квадрату скорости. Так как мы не знаем
распределения плотности и скорости внутри отдельного вихря, мы не можем
непосредственно определить численное значение энергии. Поскольку, однако,
р. находится в определенном, хотя и неизвестном, отношении к средней
плотности, мы можем предположить, что кинетическая энергия в единице
объема есть
• ? = Ср. (а2 + Р2 + 72), где С - подлежащая определению константа. Чтобы
ее определить, достаточно рассмотреть специальный случай, когда
¦-г- r-t <з5>
Пусть
<P = 'Pi + <Pa (36)
и
И (<&ti | |
4я V<te2 _rdy8 T(fcV_ b
ц / d*<?2 <1*Ъ (Щ
4я V*c2 dy* ^ dz* J 2-
Тогда <pj есть потенциал, обусловленный магнитной системой тл, а <р2 -
потенциал, обусловленный системой яга. Кинетическая энергия всех вихрей
будет:
?-2e[x(a2+p2 + TV7, (38)
причем суммирование производится по всему про-
странству. Путем интегрирования по частям (см. G г е е п, Essay on
Electricity, стр. 10) получаем:
(?!/% + + ^тх) dV, (39)
138
ДЖЕМС КЛЕРК МАКСВЕЛЛ
а так как [28]
2 <р xm2dV = S <?2mxdV, |
Е = - 4ir6'S {?im1 + <f2m2 + 2<f1m2)dV. J'-
Пусть теперь магнитная система т1 остается в покое и пусть система т2
переместится параллельно самой себе в направлении оси х на расстояние Ьх.
Тогда, так как <pi зависит только от mlt оно останется тем же, и величина
сргт1 будет постоянной; так как, далее, <р2 зависит только от т2,
распределение <р2 относительно т2 останется тем же; следовательно,
произведение 92^2 останется таким, как и до изменения положения т2.
Единственным переменным членом в выражении для Е будет член, который
зависит от 2ср1т2, так как
<?! переходит в ^ вследствие смещения магнитной массы т2. Увеличение
кинетической энергии, вызванное этим смещением, будет равно:
ЬЕ^ ^m^dVbx. (41)
Но по уравнению (12) работа, произведенная механическими силами,
действующими на т2 во время ее движения, есть:
bW=%(^lm2dv)bx. (42)
Так как наша гипотеза является чисто механической, мы должны по закону
сохранения снлы иметь:
8J? + NF.-.-=0, (43)
т. е. потеря энергии видрей должна быть возмещена работой, произведенной
в движущихся магнитах, так что
- 4кС% (2 ^ щ dv'j 8* + 2(^ т2 dv) Ьх = 0, (44) рли
О ФИЗИЧЕСКИХ СИЛОВЫХ линиях
139
Таким образом-, энергия вихрей в единице объема есть:
и энергия вихря, имеющего объем V, есть [29]:
Для того чтобы произвести или уничтожить эту энергию, вихрю должна быть
сообщена или отнята у него кинетическая энергия, будь то при помощи
тангенциального воздействия прилегающего к поверхности вихря слоя частиц
или при помощи изменения формы вихря. Мы прежде всего исследуем
тангенциальное взаимодействие между вихрями и слоем частиц, находящимся в
соприкосновении с ними.
Предложение VII. Найти энергию, переданную вих^ю в единицу времени слоем
окружающих его частиц.
Пусть Р, Q, R будут силы, действующие на единицу количества частиц в
направлениях трех осей координат (и), причем очевидно, что эти величины
являются функциями от х, у й, z [30]. Так как каждая частица касается
двух вихрей противоположными концами своего диаметра, то обратное
действие частиц на оба вихря будет разделено пополам; единица количества
частиц будет действовать на каждый вихрь
1 1
с силой, компоненты которой равны: -^ Р, --5- Q,
- уД- Так как поверхностная плотность частиц рав-
на ^ [см. уравнение (34)], то компоненты силы, действующей на единицу
поверхности вихря, будут:
^(а" + р" + Т2),
(45)
1ц("2 + Р2 + Т2)^.
(46)
Обозначим через dS элемент поверхности вихря, I, т, " - направляющие
косинусы нормали к нему, х, у, z -
140
ДЖЕМС КЛЕРК МАКСВЕЛЛ
координаты элемента, а и, v, и> - составляющие скоростей элемента
поверхности. Тогда работа, затраченная на этот элемент поверхности,
будет:
Начнем с первого члена PudS; Р может быть написано в виде
Так как поверхность вихря является замкнутой, то
Теперь мы можем выразить всю работу, переданную вихрю в единицу времени,
так:
Предложение VIII. Найти отношения между изменениями скоростей движения
вихрей и силами Р, Q, R, с которыми они действуют на слой частиц между
ними.
Пусть V - объем вихря, тогда согласно уравнению (46) его энергия будет:
