Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.
Скачать (прямая ссылка):
такая, что
Fx(x*vx\) = F2(x\, **) = 0.
Особенность называется гиперболической, если собственные значения матрицы
д1±'
dXi дх2
dF2 dF2
_дх1 дх2 _
(X* X*)
имеют ненулевые действительные части. Гиперболическая особенность может
быть стоком, седловой точкой или источником в зависимости от того,
сколько собственных значений с отрицательными действительными частями
имеет матрица J (2, 1 или 0).
6 Зак. 1231
162 Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем
В окрестности гиперболической особенности траектории системы могут иметь
следующий вид:
J-
Сток
СедлоВая movm
Источник
Рассмотрим, наконец, замкнутую траекторию у дифференциального уравнения
(I). Через точку р на у проведем малую
линейную секущую а, транс-версальную к траектории вдоль у (рис. (5.4).
Следуя по траекториям (I), проходящим через точки х на а, получаем
отображение Пуанкаре
л: а
о,
Рис. 5.4. Отображение Пуанкаре. определенное для всех *<=а,
достаточно близких к р.
Аналогично получаем определение гиперболической замкнутой траектории.
Определение 5.5
Замкнутая траектория v называется гиперболической, если | dn/dx \х=р Ф 1.
Отметим, что если | dn/dx \х=р < 1, то у - устойчивый предельный цикл и
траектории имеют вид спиралей, наматывающихся на Y- Если | dn/dx |х=р >
1, то у - неустойчивый предельный цикл, а при J dn/dx \х=р = 1 все
траектории вблизи у будут замкнутыми.
Используя приведенные выше определения, можем, наконец, сформулировать
основной результат, принадлежащий Андронову и Понтрягину.
Теорема о структурной устойчивости (в круге)
Дифференциальное уравнение (I) структурно устойчиво в том и только в том
случае, если
1) особенности (I) гиперболические,
2) замкнутые траектории (I) гиперболические,
3) ни одна из траекторий (I) не соединяет седловые точки.
Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем 163
Заметим, что, согласно условию 1, имеется лишь конечное число
особенностей, а из условий 2 и 3 следует, что существует лишь конечное
число замкнутых траекторий.
Фазовые портреты двух дифференциальных систем, одна из которых структурно
устойчивая, а другая неустойчивая, показаны на рис. 5.5. Следует, однако,
подчеркнуть, что только вид фазового портрета системы не может служить
основанием для суждения о структурной устойчивости данного
дифференциального уравнения. Например, пусть начало
Рис. 5.5. Структурно устойчивая (а) и неустойчивая (б) системы.
координат является одной из особенностей структурно устойчивой системы
(I); тогда система (II), которая получается умножением обоих уравнений
системы (I) на (л:, + л?), будет иметь точно такой же фазовый портрет, но
уже не будет структурно устойчивой, поскольку в начале координат
особенность системы (II) негиперболическая (оба корня характеристического
уравнения нули).
Пример. Классическая система Лотки - Вольтерра
Простейшей моделью детерминированной системы двух видов хищник - жертва с
непрерывным ростом популяций является система Лотки - Вольтерра
где H{t) и P(t)-популяции жертвы и хищника соответственно, а параметры а
и Ь связывают рождаемость Н и смертность Р; параметры аир учитывают
взаимодействие между видами. По очевидным и естественным соображениям
ограничимся рассмотрением области Н ^ О, Р ^ 0 и будем считать все
параметры системы положительными. (Для того
а
= [а - аР (/)], ^ = Р(/)[-6 + РЖ0],
6*
164 Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем
чтобы удовлетворить условиям теоремы о структурной устойчивости, выберем
масштабы Я и Р таким образом, чтобы значения Я и Р лежали в той части
единичного круга, которая принадлежит первому квадранту.)
Точка ¦ равновесия системы, представляющая интерес в практическом
отношении, определяется как
в точке (Н*,Р*), получим, что собственные значения матрицы J в особой
точке будут чисто мнимыми числами
Таким образом, особенность не является гиперболической. Следовательно,
классическая модель Лотки - Вольтерра не будет структурно устойчивой,
поскольку нарушено условие I теоремы.
При обсуждении вопросов структурной устойчивости на интуитивном уровне
обращает на себя внимание утверждение, что "система структурно устойчива,
если все близкие к ней системы имеют качественно такое же поведение".
Предыдущий пример показывает, что, как только мы уточняем понятия
"близкие", "те же", "качественно" и "поведение", общее представление уже
выглядит несколько иначе, поскольку все траектории системы являются
замкнутыми, причем точка равновесия (Н*, Р*) - центр. Более того, любая
система, близкая к данной и получающаяся при изменении ее параметров a,
b, а, Р, будет вести себя аналогичным образом.
Итак, интуитивные рассуждения могут привести к заключению о структурной
устойчивости рассматриваемой системы. Однако из геометрических
соображений очевидно, что траектории близких систем нельзя непрерывно
отобразить друг в друга. Следовательно, согласно определению 5.3, данная
система не будет структурно устойчивой, и этот вывод, разумеется,
