Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Касти Дж. -> "Большие системы. Связность, сложность и катастрофы" -> 60

Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.

Касти Дж. Большие системы. Связность, сложность и катастрофы — М.: Мир, 1982. — 216 c.
Скачать (прямая ссылка): bolshiesistemisvyaznost1982.pdf
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 79 >> Следующая

вытекает из того факта, что не все особенности системы являются
гиперболическими. Таким образом, интуитивные представления и точные
определения не всегда приводят к одному результату, поэтому, применяя
математический аппарат, мы должны придерживаться данных определений.
Указанный выше случай говорит о возможности другого определения
структурной устойчивости.
Я* = &/р, Р* = а/ а.
Рассмотрев матрицу Якоби
Га - а Р -а Я
[ рр -Ь + ря
]
К - ±i (аЬ)'1г.
Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем 165
Одно время предполагалось, что свойством структурной устойчивости должны
обладать почти все дифференциальные системы (другими словами, ожидали,
что структурно устойчивые системы образуют открытое плотное множество в
множестве всех систем). И это действительно справедливо в случае одного
или двух измерений, однако, как показали Смейл и Вильямс, для более
высокого числа измерений справедливо обратное утверждение, т. е., вообще
говоря, нет уверенности в том, что неустойчивые системы могут быть
произвольно близко аппроксимированы структурно устойчивыми системами,
если размерность фазового пространства п ^ 3. К счастью, оказывается, что
в действительности существует широкий класс л-мерных систем, для которых
можно установить свойство структурной устойчивости. Наиболее простыми и
лучше всего изученными являются дифференциальные системы Морса - Смейла,
которые содержат лишь конечное число особенностей и замкнутых траекторий.
Системы другого типа, например, системы Аносова, имеют очень сложную
геометрическую структуру, связанную с тем, что они содержат бесконечно
много замкнутых траекторий. Такие системы будут затронуты в одном из
следующих разделов.
ТЕОРИЯ КАТАСТРОФ
В последнее время большое внимание привлекает получившая широкую
известность теория "катастроф", затрагивающая один из аспектов проблем,
изучаемых общей теорией структурной устойчивости и теорией бифуркаций. В
основных чертах теорию катастроф можно представить как метод, позволяющий
получить частичный ответ на следующий вопрос: каковы обычно встречаемые
типы в ^-параметрическом семействе функции? Аналогичный математический
метод используется также и при изучении вопроса противоположного
характера: если дана функция, как будет выглядеть семейство, содержащее
близкие к ней функции?
Важность этих вопросов для практического конструирования моделей
обусловлена тем, что в основе применения элементарной теории катастроф
лежит предположение о направленности исследований при изучении конкретной
системы* хотя возможная цель и не является четко обозначенной. Вкратце
задача состоит в следующем. Рассматривается система, динамика которой
принадлежит к градиентному типу, и делается попытка минимизировать
(локально) некоторую функцию цены. В нашем распоряжении имеется k
параметров управления ось а.% ..., а*, и при этом выходные параметры
системы принимают такие значения х\, х\, ..., х'п
166 Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем
в состоянии равновесия, что достигается локальная минимизация некоторой
функции
/ (*1> *2" • • • > Хп, &2j * • • j
По аналогии с классической механикой функция / называется потенциальной
(или энергетической) функцией системы. В общем случае значения х\,
соответствующие состоянию равновесия, зависят от выбора параметров а,
поэтому
х* = х](а), 1=1,2, ..., п.
Рассматривая скачкообразные изменения значений х\, происходящие в
результате плавного изменения параметров а, мы приходим к понятию
"катастрофа".
Очевидно, существует бесконечно много систем указанного выше типа (каждой
функции / соответствует своя система). Между тем многие из этих систем
окажутся идентичными, если ввести преобразование координат в пространстве
входных и выходных переменных а и х. Наиболее простой метод отсеять
несущественные изменения системы состоит в том, чтобы выделить и
рассмотреть лишь такие свойства функции f, которые имеют чисто
топологический характер (в самом деле, допускаются лишь гладкие, т. е.
бесконечное число раз дифференцируемые функции / и гладкие изменения
координат). При этом основной результат теории катастроф, теорема Тома,
дает возможность топологически классифицировать все гладкие потенциальные
функции. Как мы увидим далее, наиболее замечательная особенность этой
теоремы заключается в том, что такая классификация зависит только от
числа k параметров управления (предполагаемого конечным).
Важность теоремы Тома для приложений обусловлена тем обстоятельством, что
в общем случае функция f нам неизвестна: предполагается лишь, что она
является потенциалом, описывающим динамику данной системы. При этом
теорема позволяет оправдать рыбор небольшого конечного числа
"канонических" потенциалов в качестве моделей рассматриваемого процесса,
поскольку дает возможность полагать, что "истинная" функиия f, какой бы
она вид ни принимала, будет отличаться от канонической модели только
результатом преобразования координат. Кроме того, теорема гарантирует
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 79 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed