Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.
Скачать (прямая ссылка):
структурную устойчивость канонической модели. Отсюда следует, что
истинная модель должна проявлять те же свойства топологического
характера, что и каноническая модель. Прежде чем дать формулировку
результата Тома и приступить к его обсуждению, проанализируем простой
частный случай.
Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем 167
Рассмотрим семейство функций в R2, зависящее от единственного параметра а
е R и определяемое уравнением
f (л:1( х2; а) = xf - axt - х\.
Критические точки функции f соответствуют *i(a), xl(a) и определяются
уравнениями
-$L - 3*2 - а = 0, = - 2х" = 0.
дх, 1 ' дх2 2
Таким образом, многообразие критических точек Мf располагается на
плоскости х% - 0 вдоль кривой За;, - а = 0, лежащей на плоскости (я, а) в
R3. Исследуем критические точки функции я(r) - ах, при разных значениях а.
а>0
а = 0
а<0
Рнс. 5.6. Поведение функции х3 - а* при разных значениях а.
Как показано на рис. 5.6, имеются две критические точки я(r) - а*, при а >
0: максимум параболического типа, где величина *i отрицательна, и минимум
также параболического типа в некоторой точке х > 0. При уменьшении а эти
две критические точки сливаются в единственную точку перегиба,
характерную для кубической кривой в вырожденном случае, когда а = 0; при
а < 0 критические точки отсутствуют.
Проекция Mf в пространство а
•ф: Mf -> Rk (х* (а), а) -> а
называется отображением катастроф семейства f(x\ а). Для большинства
значений а многообразие Mf обеспечивает локальное покрытие пространства
управления Rk, быть может, многолистное. В то же время, когда ф
сингулярно, число листов может внезапно меняться. Таким образом, при
некого-
168 Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем
ром значении а = а происходит слияние или бифуркация критических точек
функции /(*; а). Такая особая точка называется точкой катастрофы
семейства /(*; а).
Для приведенного выше примера / (*ь х2\ а) = = xf- ах, - Xg имеет точку
катастрофы при а = 0. Важно отметить, что любое малое возмущение дает
новое семейство
Рис. 5.7. Катастрофа типа складки.
функции / (*], х2; а), которое должно обязательно иметь точку катастрофы
где-то вблизи а - 0, причем вблизи катастрофы М; имеет сходный с М;
вблизи а - 0 характер покрытия оси а. Подобная ситуация, отвечающая
катастрофе типа "складки", показана на рис. 5.7.
Теперь можно перейти к обсуждению основной теоремы теории катастроф,
которая впервые была сформулирована Томом, а затем дополнена Зиманом.
Теорема Тома - Зимана
Для каждого k ^ 5 и п ^ 1 существует открытое плотное множество С°°-
потенциальных функций 9Г, таких, что
1) Мf - дифференцируемое k-многообразие, гладко вложенное в Rn+k.
2) Каждая особенность отображения катастроф if>: Мf-> -*-Rh локально
эквивалентна одному из конечного числа стандартных типов, называемых
элементарными катастрофами. Число таких типов следующим образом зависит
от k:
Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем 169
k 1 2 3 4 5 >6
Число типов 1 2 5 7 11 оо
3) Отображение г|) структурно устойчиво в каждой точке Mf по отношению к
малым возмущениям f из Кроме того, сиществиет каноническая форма Нх\ а)
вблизи каждой точки (х*, а)ЕМ/ (табл. 5.1).
Таблица 5.1
Канонические формы функции / (х\ а)
к п Каноническая срорма /О; Л) Наздание
1 1 Складка
2 1 X2 *t + aiy + ?"2*l С5орка
3 1 X? X? X? 5 +ai 3 +"2 2 +a'Xl Ласточкин xfiocm
4 1 ii+i,4fi+ei?i+e2ii+ejX 6 4 4 1 3 2 2 3 Бабочка
3 2 х| + х| + азх,х2 -а,х, -a2x2 Гитрдолическая омбилическая точка
3 2 xj-3x,x^ + a,(x; + x|)-atx1-a2x2 Эллиптическая омбилическая
точка
4 2 * 1*2 + *2 + I + a4X2 " a 1*1 " a2X2 ПapaSoлuчecкaя
омбилическая точка
5 1 xj + a,xf + a2xf + a3x? + a4xj + a5xt Вигвам
5 2 xjx2-xf+ a,x| + a2xf + ajx5 + a4x2 + a5x, Вторая
зллиптйческсь омоилическая точка
5 2 xjx2 + x2 + a,x2 + a2x| + a,x5 + a4x2 + a5x, вторая гилер&оли-
vec/fm омбилическая точка
5 2 l±(x' + x2 + a,xlx2 + a2xj + a,x,x2 + a4x2 + a5x,)
Сим8олическая o/uffu* лическая точка
Примечание; для ft-4 и n=l должно быть aj*i.
Замечания, 1. С°°-эквивалентность двух отображений означает, что если
г|): M-*-N, то отображе-
ния г|) и г|/ эквивалентны при условии, что существуют
170 Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем
диффеоморфизмы (взаимно однозначные отображения, С°°) h и k, такие, что
k~ly!p'h = ар.
2. Грубо говоря, структурная устойчивость ip в каждой точке М[
означает, что для заданной точки Мf существует некоторая окрестность / в
ЗГ, такая, что любая функция в этой окрестности имеет отображение
катастроф, эквивалентное
3. При k ^ 6 бесконечное число отображений катастроф можно исключить
при помощи более слабого определения эквивалентности. Однако на практике
наиболее важное значение имеет конечная С^-классификация при малых k, и
именно она является наиболее приемлемой для математической постановки
задачи.
ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МЕТОДОВ ТЕОРИИ КАТАСТРОФ. ЗАГРЯЗНЕНИЕ ОЗЕР
Часто возникает необходимость объяснить (смоделировать) происходящие за
