Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.
Скачать (прямая ссылка):
% dV/dt = (- а/2) х2 - (b - b0) х,х2 - (ab/2) х2.
Следовательно, положение равновесия системы в начале координат будет
асимптотически устойчивым, если dV/dt <1 0 в некоторой окрестности начала
координат. Это действительно будет иметь место, если для некоторых а > 0
e2bo [f (OF - а2 (1 + ef (0) < - а < 0.
Последнее неравенство выполняется, если е достаточно мало.
Устойчивость, Katactpotpbi и adantupyeMOctb больших cucteM 153
Итак, для достаточно малых е положение равновесия системы в начале
координат асимптотически устойчиво. Этот результат можно интерпретировать
следующим образом. В системе действуют две противоположные силы:
параметрическое возбуждение, пропорциональное е, и нагрузка, демпфирующая
сила ах. Для того чтобы удовлетворить приведенному выше неравенству,
необходимо выбрать сопротивление достаточно большим, с тем чтобы нагрузка
поглотила всю энергию, выделенную за счет возбуждения. В этом случае
положение равновесия в начале координат устойчиво. Если же нагрузка
недостаточно велика, можно ожидать увеличения энергии, и равновесие в
начале координат становится неустойчивым.
Для более подробного ознакомления с рядом интересных аспектов проблемы
устойчивости рекомендуем читателю обратиться к литературе, указанной в
конце данной главы. Перейдем теперь к обсуждению некоторых современных
представлений об устойчивости, которые оказываются особенно полезными при
изучении систем.
СВЯЗНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
При решении практических задач, как правило, трудно с полной
определенностью выделить внутренние связи в системе. Это обусловлено тем,
что наличие или отсутствие прямых связей одной подсистемы с другой часто
не может быть установлено вовсе или может быть установлено лишь с низкой
точностью. Одним из возможных подходов к исследованию таких ситуаций
служит предположение, что связи являются случайными переменными,
описываемыми некоторыми известными функциями распределения. Для ответа на
различные вопросы вероятностного характера относительно динамического
поведения системы можно затем применить статистические методы. Однако
ниже для исследования характеристик устойчивости системы, внутренние
связи которой не установлены с большой точностью, мы собираемся
использовать другой подход, заранее не опирающийся на статистическую
обработку. Как было отмечено в вводном разделе, такой подход
соответствует понятию связной устойчивости.
Рассмотрим динамический процесс, внутреннее описание которого
x - A{x,t)x> jc (0) = (5-9)
где х - вектор состояния системы, А - непрерывная матричная функция своих
аргументов при всех t ^ 0 и всех х е Rn.
154 Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем
Для изучения вопросов связности в данной задаче запишем элементы матрицы
А в виде
где б,/ - символ Кронекера (т. е. 6(у = 1, если i = /, и б(у = = 0 при
i^j), % и г|),у - непрерывные функции своих аргументов. Элементы ец
представляют собой компоненты матрицы взаимосвязи Е системы и
удовлетворяют соотношениям
Понятие связной устойчивости дается следующим определением.
Определение 5.2
Состояние равновесия х = 0 системы (5.9) связно асимптотически устойчиво
в большом тогда и только тогда, когда оно асимптотически устойчиво для
всех матриц взаимосвязи Е.
Для того чтобы получить практический метод определения наличия связной
устойчивости, потребуем выполнения дополнительных условий для функций грг
и г|з,у. Предположим, что существуют постоянные а i > 0, ац ^ 0, такие,
что при всех х е"Rn и всех t ^ 0
1) % (*, t) < а,-,
2) I'M*, t)Xj | < а г/1 х,- |; i, / = 1,2.п.
Введем матрицу А = [а,у] следующим образом:
Тогда основной результат может быть сформулирован следующим образом.
Теорема о связной устойчивости
Состояние равновесия системы (5.9) в точке х = 0 связно асимптотически
устойчиво в большом тогда и только тогда, когда матрица А удовлетворяет
условию
(х, t) = - 6,/ф( (*, 0 + (х, 0,
1, если переменная Xj оказывает влияние на 0 в противном случае.
Я/у /- 1,2, . • tl.
(-l)fc det
>0, k = 1,2,..., И;
Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем 155
Замечания. 1. Условие, налагаемое на главные миноры матрицы А, в
литературе по теории устойчивости принято называть условием Севастьянова
- Котелянского. Экономистам матрица А известна как матрица Хикса.
2. Если ограничения на и tyu выполняются не для всех х <= Rn, а лишь в
некоторой области М с: Rn, то указанный выше результат имеет место в
области М.
Для того чтобы исследовать размеры области связной устойчивости,
определим множество чисел {di} следующим образом:
\aIi I - djl Z di\ ац |>е > 0.
Пусть числа {и,} таковы, что
М =э {х е Rn: | xt | < uh i = 1,2......п},
т. е. и,- определяют гиперкуб в Rn, содержащийся в М. Используя введенные
выше величины, можно показать, что область
П
х Rn : ? di | Xi | < mindiUi i- 1 i .
является областью связной асимптотической устойчивости для системы (5.9).
Таким образом видно, что нахождение наиболее широкой, области связной
