Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.
Скачать (прямая ссылка):
V (х) = (*, Рх),
где Р - пока неизвестная симметрическая матрица. Для того чтобы V(x) была
функцией Ляпунова системы, мы должны иметь
4г= (*> Рх) + (х, Рх) =
= {х, (F'P + PF):с)<0.
150 Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем
Здесь подразумевается, что уравнение F'P + PF =- С
разрешимо при любой матрице С > 0.
Далее,- из условий 1 и 2 следует, что матрица Р должна быть положительно
определенной. Следовательно, в результате мы получаем, что положение
равновесия системы
(5.6) в начале координат асимптотически устойчиво в том и только в том
случае, если уравнение F'P-\-PF = -С имеет решение Р > 0 при любой
матрице С > 0.
Следует, однако, иметь в виду, что выбранная для представления F(;e)
квадратичная форма не является единственным кандидатом на функцию
Ляпунова линейной системы
(5.6). В качестве примера рассмотрим задачу из области экономики,
связанную с моделированием п взаимосвязанных рынков сбыта п товаров (или
услуг), поступающих из одной или нескольких связанных между собой
отраслей промышленности (или систем обслуживания). Обозначив через x(t)
вектор цен товаров в момент времени t, получим классическую модель этой
ситуации
x{t) = Ах (t),
где А = [а*/]-постоянная матрица размером пУ^п. Если все товары
взаимозаменяемы, то Л - матрица Метцлера, т. е. a,\j удовлетворяют
условиям
ац< 0, i - j,
0, i ф U
Вопрос об устойчивости цен в такой ситуации был рассмотрен в 1945 г.
Метцлером, получившим следующий классический результат:
Система Метцлера х = Ах устойчива в том и только в том случае, если
главные миноры матрицы А удовлетворяют условию
f-l)v del
"п
aJ2
ап
0-22
(r)lk
<Ък
>0
для всех k = 1, 2, .... п.
Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем 151
Доказательство этого утверждения основано на выборе функции Ляпунова
V(x)=tdl\xl |,
i = l
где di~> 0 - подлежащие определению постоянные. Соответствующий выбор di
и использование свойств матрицы А по Метцлеру дают возможность показать,
что V(х) действительно является функцией Ляпунова системы. Таким образом-
, на основании теоремы Ляпунова об устойчивости заключаем, что начало
координат является точкой равновесия системы.
Теорему Ляпунова об устойчивости особенно легко применять для одного
класса нелинейных задач, в которых нелинейные члены можно считать
"малыми" возмущениями главной, линейной части. Например, естественно
полагать, что если динамика системы описывается уравнением
x = Fx-j-h(x), х(0) = х0, (5.8)
где F - устойчивая матрица (т. е. матрица, собственные значения которой
лежат в левой полуплоскости), то положение равновесия х = 0 будет
асимптотически устойчивым, если начальное возмущение дго и нелинейное
возмущение h(x) не слишком велики. Математическая формулировка этого
очевидного результата может быть представлена в виде следующей теоремы.
Теорема Пуанкаре - Ляпунова
Пусть система (5.8) удовлетворяет следующим условиям:
1) F - устойчивая матрица,
2) h(-) - непрерывная функция переменной х, такая, что h{0) = 0 и
ИМ*)ll/Ы-^О при IUI|->0,
3) lUolKl.
Тогда положение равновесия х = 0 асимптотически устойчиво.
Одна из трудностей, возникающих при использовании этой теоремы, связана с
условием 3, которое по существу является требованием, чтобы начальное
возмущение было "достаточно малым". Действительная степень малости
определяется, вообще говоря, сравнительной величиной нелинейной части h и
величиной действительной части корня характеристического уравнения F,
ближайшего к мнимой оси.
Для того чтобы попытаться исключить условие 3 и получить достаточное
условие глобальной устойчивости, необходимо наложить более строгие
ограничения на динамику
152 Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем
системы. Соответствующий результат был получен советским математиком Н.
Н. Красовским.
Теорема Н. Н. Красовского
Решение х = 0, соответствующее положению равновесия нелинейной системы x
= f(x), асимптотически устойчиво в большом, если существует постоянная е
> 0, такая, что матрица J(x)-\-J'(x) имеет собственные значения, меньшие,
чем -е, для всех х, где J (х)-матрица Якоби функции /, т. е,
1'МЬ"-§7-
Теорема Красовского является следствием теоремы Ляпунова об устойчивости,
если использовать функцию V{x) =
- (х, (J(x)+J'(x))x).
В качестве примера применения теоремы Ляпунова об устойчивости рассмотрим
электрический колебательный контур с параметрическим возбуждением.
Динамика такого процесса описывается уравнением
х + ах + b (t) х - О,
где а > 0, b(t) = 60(1 + f(t)), h ^ 0 и f(t) - ограниченная функция.
Здесь х - напряжение на контуре, а - сопротивление, b(t) - емкость,
изменяющаяся с течением времени. Приведенное выше уравнение эквивалентно
системе
х1 = х2,
х2 = - b (t) Х\ - ах2.
Исследуем устойчивость положения равновесия х\ = х2 = = 0. Для этого
рассмотрим энергетическую функцию
1 / а*, \2 / а2 \ хj
V (Xi, Х2) = -2\х2 Н-2~) + ^"4 Ь
Легко показать, что
1) V(xb х2)^0,
2) V (хи л:2) = 0 в том и только в том случае, если х{ =
