Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.
Скачать (прямая ссылка):
строки и третьего столбца матрицы А2, т. е. рз(2) = 0.
Аналогичным образом получим v\ (2) = V\(0) + [/ + А + -(- А2] и = 0 + 1 =
1. Очевидно, что эти результаты согласуются с теоремой о распространении
возмущения.
Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем 177
Теперь постараемся связать представления об устойчивости по возмущению и
об устойчивости по начальному значению с матрицей взаимосвязи А. По-
видимому, в настоящее время неизвестны какие-либо общие необходимые и
достаточные условия, однако если предположить, что орграф G обладает
различными характеристическими значениями (это условие является
достаточно общим), то можно сформулировать теорему об устойчивости по
возмущению.
Теорема об устойчивости по возмущению
Взвешенный орграф G, характеристические значения которого различны,
устойчив по возмущению для любого простого процесса распространения
возмущения в том и только в том случае, если каждое характеристическое
значение G по модулю не превосходит единицы.
Согласно данной теореме, для решения вопроса об устойчивости по
возмущению необходимо лишь вычислить максимальный по модулю корень
характеристического уравнения матрицы А. Если этот корень лежит вне круга
единичного радиуса, то орграф G не будет устойчивым по возмущению; в
противном случае орграф G устойчив по возмущению.
Устойчивость по начальному значению определяется на основе указанной выше
теоремы об устойчивости по возмущению. Строгий критерий устойчивости
дается следующей теоремой.
Теорема об устойчивости по начальному значению
Взвешенный орграф G устойчив по начальному значению для любого простого
процесса распространения возмущения в том и только в том случае, если
орграф G устойчив по возмущению для любого простого процесса
распространения возмущения и единица не является характеристическим
значением G.
Таким образом, как устойчивость по начальному значению, так и
устойчивость по возмущению определяются путем исследования
характеристических значений графа G, т. е. корней характеристического
уравнения матрицы взаимосвязи А.
Пример. Борьба с насекомыми-вредителями
Рассмотрим задачу борьбы с насекомыми-вредителями культурных растений
путем распыления инсектицидов. Введем следующие обозначения:
Р1 - культивируемое растение, прирост которого ограничен влиянием густоты
посадки;
Hi - растительноядное насекомое-вредитель, питающееся растением Р\\
1/27 зак. 1231
178 Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем
W - насекомое-хищник, убивающее только насекомое Нь G - насекомое-хищник,
поедающее как насекомое Н\, так и насекомое Н2;
#2 - насекомое-вредитель, которое поедает растение Рг* / - инсектицид.
Знаковый орграф, описывающий эту ситуацию1), показан на рис. 5.11.
Отметим, что знак, приписанный дуге (*;, X/),
Рис. 5.11. Знаковый орграф для задачи борьбы с насекомыми-вредителями.
указывает влияние изменения х,- на скорость изменения х/. Матрица
взаимосвязи для рассматриваемого орграфа имеет вид
Pi Нг W G Н2 р2 I
Pi -1 1 0 0 0 0 0
Н, -1 0 1 1 0 0 0
W 0 -1 0 0 0 0 0
G 0 -1 0 0 -1 0 0
н2 0 0 0 1 0 -1 0
Р2 0 0 0 0 1 -1 0
I 0 -1 -1 -1 0 0 0
Корни характеристического уравнения матрицы А таковы:
{- 0,119 ± 1,85/; - 0,335 ± 1,03/; -0,762; -0,328; 0},
и, следовательно, максимальный по модулю корень имеет модуль больше
единицы. Тогда, согласно теореме об устойчивости по возмущению, граф,
представленный на рис. 5.11, не является устойчивым ни по возмущению, ни
по значению.
') Приведенный на рис. 5.11 знаковый орграф не совсем точно отражает суть
дела. Действительно, инсектицид должен истреблять также и насекомое Я2
(следует провести дугу со знаком минус от / к Н2), растения Р1 и Pi
должны влиять друг на друга (это приведет к дальнейшему усложнению
орграфа). - Прим. ред.
Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем 1791
Аналогичный результат можно было предсказать и на основании анализа графа
(рис. 5.11), поскольку он содержит много циклов усиления возмущения,
например G -*¦ Н2 -*¦ Р2 -*¦ -+H2-+G.
Если данный орграф не является устойчивым по возмущению, очевидный
интерес представляет определение типа структурных изменений, которые
оказывают стабилизующее действие. Другими словами, желательно
классифицировать устойчивые орграфы по их структурным характеристикам,
что позволило бы определить способы стабилизации системы путем таких
структурных изменений, которые переводят данный орграф в устойчивую
структуру. К сожалению, это пока невозможно, хотя и получены полезные
результаты при изучении некоторых частных классов орграфов, часто
возникающих на практике.
АДАПТИРУЕМОСТЬ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
В предыдущих разделах неоднократно упоминалась проблема отклика системы
на возмущения ее состояния или характеризующих эту систему параметров.
Грубо говоря,, "адаптируемость" динамического процесса представляет собой
меру возможности системы сохранить неизменность основного хода
динамического процесса при воздействие возмущений. Очевидно, что такое
