Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.
Скачать (прямая ссылка):
допустимых возмущений понятие адаптируемости остается бессодержательным.
Мы уже убедились в том, что при определении меры адаптируемости
необходимо принимать во внимание и величину, и направление возмущающей
силы g(t). Рассмотрим следующий подход к решению задачи. В каждый момент
времени t построим вектор, направленный от x{t) к точке на dD, ближайшей
к x(t) (рис. 5.13). Вектор у(/) строится по известному вектору x(t),
определяемому, быть может, путем
0D
S
Рис. 5.12. Потенциальная яма для системы 2.
182 Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем
численного интегрирования, и вектору d(t), который известен, поскольку по
предположению граница dD уже рассчитана. Таким образом, v(t) = d(t) -
x(t). Предположим, что функция g(t) соответствует возмущению в виде
"импульса" в момент t = s, т. е. ?(/)=ц6(/ - s), где ц- вектор,
указывающий величину и направление импульса. Тогда можно попытаться путем
сравнения векторов ц и v(t) определить, будет ли система выведена за
пределы dD. Как отмечалось,
ответ на этот вопрос зависит от того, имеет ли вектор ц достаточную
величину и надлежащее направление с тем, чтобы вывести x(t) за границу
dD. Отметим, что в данном случае можно не учитывать функцию f(x),
поскольку мы предположили, что g(t) с точностью до множителя представляет
собой б-функцию.
Введем функцию т, характеризующую результат сравнения векторов ци v(t) по
величине
т(0 = 11 nil -II о (О II.
и функцию 0, характеризующую результат сравнения этих векторов по
направлению,
cos 0 (t) = 'if*1'..0 лР.. ,
' Hull о (Oil
где (,) означает скалярное произведение векторов, || • || - евклидову
норму. При этом оказывается, что адаптируемость системы 2 в момент
времени t можно характеризовать следующим полуколичественным
соотношением:
низкая адаптируемость при m(t)^ 0 и cos0(/)" 1, высокая адаптируемость
при m(t)<Z. О и cos0(/)<;O.
Другими словами, система 2 адаптируема по отношению к импульсному
возмущению ц в момент времени t, если вели-
Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем 183
чина ц очень мала или если возмущение ц стремится увести x(t) от границы
dD. Если же вектор ц по величине больше v(t) и стремится подвести x(t) к
границе dD, то можно говорить о низкой адаптируемости системы 2.
Приведенный выше анализ дает возможность заложить основу систематического
математического изучения вопроса об адаптируемости системы, связанной с
внешними возмущениями состояния x(t). В рамках такого подхода нетрудно
рассмотреть и случаи непрерывно действующих возмущений или комбинаций
импульсов. Для этого достаточно применить стандартную математическую
процедуру, аналогичную применяемой в теории вероятностей при переходе от
дискретных к непрерывным или смешанным функциям распределения.
Разумеется, при анализе таких случаев для установления степени
адаптируемости системы 2 по отношению к данному классу возмущений
необходимо принимать во внимание также и свободную динамику системы f(x).
АДАПТИРУЕМОСТЬ И КАТАСТРОФЫ
Непосредственное внешнее воздействие на состояние равновесия является
одним из факторов, благодаря которому система может быть смещена из
области одного аттрактора в область другого. В предыдущем разделе были
изучены
некоторые связанные с этим вопросы. Рассмотрим теперь второй фактор, при
действии которого система может быть сдвинута в область другого
аттрактора. Таким фактором являются изменения в динамике системы,
обусловленные изменением вектора параметров системы а.
Рассмотрим ситуацию, представленную на рис. 5.14. Когда вектор параметров
системы а = аь начальное ее положение
184 Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем
х0 лежит внутри области, ограниченной dD\ и система стремится занять
положение в начале координат. Если вектор а изменится и станет равным а2,
то точно такое же начальное состояние Хо будет уже лежать вне области,
ограниченной dDi, и конечным итогом поведения системы будет ее переход в
состояние равновесия х - х\, расположенное далеко от начала координат.
Легко представить себе ситуацию, в которой х0 лежит очень близко к
границе dD\. В этом 'случае даже небольшое изменение вектора а может
вызвать деформацию
dD 1, достаточную для того, чтобы положение системы х0 оказалось в
области притяжения к другому состоянию равновесия.
Как было показано в предыдущем разделе, только что описанная ситуация
лежит в основе элементарной теории катастроф Тома - Зимана. При этом явно
признается, что положения равновесия (в рассматриваемом случае х\ и
начало координат), а также соответствующие им границы областей притяжения
(dDи dD2) зависят (главным образом) от вектора параметров системы а.
Следовательно, существует тесная связь между отображением катастроф of и
представлением об адаптируемости системы. Действительно, на интуитивном
уровне ясно, что чем ближе к особой точке 1|з расположено начальное ,
значение вектора параметров а, тем меньше степень адаптируемости системы
