Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(по отношению к изменениям а).
Имея в виду сказанное выше, можно определить меру адаптируемости путем
рассмотрения величины и направления такого изменения вектора а, которое
необходимо, чтобы провести вектор а через особенность of (эта ситуация
показана на рис. 5.15). Поскольку'соответствующие рассуждения во многом
повторяют изложенное в предыдущем разделе, отметим только, что
представление об адаптируемости остается весьма неопределенным, пока не
введено соглашение о
Рис. 5.15. Кривая особенностей отображения г|> катастрофы типа сборки.
Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем 185
классе допустимых изменений вектора а. Как показано на рис. 5.15, для
любого а мы строим вектор v от конца вектора а до ближайшей особенности ф
и проводим сравнение v с допустимыми изменениями а с целью оценить меру
адаптируемости системы 2 для данного вектора а по отношению к допустимым
возмущениям.
Пример. Модель биржевых операций
В качестве иллюстрации развитых выше представлений рассмотрим простейшую
модель биржевых операций. Выходной переменной (описывающей состояние
системы) является скорость изменения определенного индекса биржи
(например, среднее по Доу - Джонсу), а входные переменные а.\ и
характеризуют соответственно дополнительный спрос на акции со стороны
основных покупателей и долю денежных средств, направленных на
спекулятивные операции. Обсуж-дение подробностей, связанных с данной
моделью, можно найти в статье, указанной в конце главы. Моделирование
этой ситуации, связанное с использованием модели катастро-фы типа сборки,
соответствует картине, показанной на рис. 5.16.
Предположим, что единицы измерений выбраны так, чтобы рассматриваемая
модель отвечала канонической катастрофе типа сборки, т. е. множество
бифуркаций в пространстве исходных переменных С приводит к следующей
связи между а\ и аг:
а2 = 5,67аг(' или 2 7а\ - 4 а\ = 0.
Эти уравнения получаются из канонического потенциала для сборки
л:4 а
f (-?j, "р а2) = - | Х1 "Ь
на основании условия, согласно которому вдоль линий сборки мы должны
иметь
При помощи указанных соотношений можно исключить х и получить
представленный выше результат.
Предположим, что вектор начальных параметров а описывается следующими
значениями: дополнительный спрос на акции со стороны основных покупателей
есть 0,1 и доля денежных средств, направленных на спекулятивные операции,
8 Зак. 1231
186 Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем
есть 0,58, т. е. а = (0,1; 0,58). Ближайшая к а точка на бифуркационной
кривой
Ь (а) = (0,3; 0,44).
Таким образом, вектор v(a) имеет вид
и (а) = (0,2; -0,133).
Вектор и (а) представляет собой изменение а, необходимое для того, чтобы
пересечь бифуркационную кривую. Отсюда
следует, что модель биржевых операций, описываемая вектором параметров а,
обладает почти вдвое более высокой адаптируемостью по отношению к
изменениям а\ (т. е. спроса на акции со стороны основных покупателей),
чем к изменениям Яг (т. е. доли средств, направленных на спекулятивные
операции) .
Разумеется, приведенная выше интерпретация моделей с точки зрения теории
катастроф и исследование адаптируемости систем ограничены ситуациями, для
которых справедливы гипотезы, положенные в основу элементарной теории
катастроф. А именно:
Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем 187
1) динамика системы описывается гладкой функцией, т. е. является С°°-
функцией х им:и принадлежит к градиентному типу;
2) вектор параметров системы имеет не более пяти компонентов;
3) положениями равновесия системы являются только неподвижные точки:
система 2 не имеет предельных циклов, аттракторов Лоренца и других более
экзотических типов начальных состояний. Другими словами, возможны лишь
"элементарные" катастрофы.
Нарушение одного или даже всех этих условий сохраняет тем не менее
возможность исследования адаптируемости, но уже на основании
представлений о структурной устойчивости, отличных от тех, которыми
оперирует теория катастроф. Рассмотрим кратко некоторые из них.
СИСТЕМЫ МОРСА - СМЕЙЛА И АДАПТИРУЕМОСТЬ
Проблема структурной устойчивости систем, размерность которых меньше или
равна двум, уже обсуждалась. Из результатов, представленных в последних
разделах, с очевидностью следует, что ряд основополагающих представлений
об адаптируемости относится непосредственно к структурно устойчивым
системам. Действительно, главным элементом в оценке степени
адаптируемости является установление следующего факта: останется ли
динамика системы "без существенных изменений" при наличии возмущений.
Одной из возможностей получить ответ на этот вопрос является анализ
устойчивости векторного поля. Такая возможность обусловлена тем, что
исходную систему и систему, получающуюся в результате действия
возмущений, можно рассматривать как совпадающие в качественном смысле,
если они имеют сходные фазовые портреты. В данном разделе мы уточним
представление о структурной устойчивости векторного поля, а также
