Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.
Скачать (прямая ссылка):
структурно устойчивые системы на М совпадают с системами Морса - Смейла.
Если dimM > 2, *то могут существовать другие структурно устойчивые на М
векторные поля, дополнительные к системам Морса- Смейла.
Представление об адаптируемости, рассмотренное в данной книге, очевидным
образом связано с только что приве-
Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем 191
денными представлениями о структурной устойчивости, хотя и имеются
следующие заметные расхождения.
1. Структурная устойчивость касается всего фазового портрета системы;
адаптируемость обычно характеризуется асимптотическим поведением системы
при t > 0.
2. Возмущения, рассматриваемые при анализе адаптируемости, обычно не
содержат вариаций векторного поля v во всей окрестности V{M). Обычно
предполагается, что подмногообразие Р от V (М) задано таким образом, что
2 е Р и допустимые вариации 2 будут также принадлежать Р. Можно считать,
что Р описывается конечной системой параметров, содержащихся в 2, и мы
меняем 2 путем варьирования этих возмущений.
3. Представление о структурной устойчивости является слишком сильным
требованием по отношению к адаптируемости, как это следует из указанных
выше пп. 1 и 2. В то же время соответствующее представление об Q-
устойчивости, согласно которому налагается требование топологической
совместимости только на неподвижные точки системы 2, является слишком
слабым. Последнее связано с тем, что ^-устойчивость ничего не говорит о
структурных изменениях границы области притяжения неподвижных точек.
Обсуждения, приведенные выше, дают возможность сформулировать вариант
определения адаптируемой системы 2.
Определение 5.8
Пусть непрерывная по времени система 2 описывается дифференциальным
уравнением x = f(x) и Р-подмножество С'-векторного поля на М, такое, что
/ е Р. Тогда система 2 называется адаптируемой, если
1. Существует окрестность U для f в С1-топологии, такая, что все
системы 2', определенные векторными полями f' е е П П Р, имеют одинаковое
(конечное) число аттракторов.
2. Для каждого аттрактора А; системы 2 и каждой близкой к ней системы
2' имеется конечное множество а" (2') аттракторов 2' и отображения
2' -> Uat (2')
i
И
2' -> UBiCZ')
непрерывны с_С*-тополоп1ей на UflP с хаусдорфовой метрикой на Ai и Bi.
Здесь В,- - замыкание области притяжения для At.
192 Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем
Приведенное определение адаптируемости построено таким образом, что
аттрактор 2 может "расщепиться" на несколько близко расположенных
аттракторов 2' и не нарушить при этом адаптируемости системы. Такой
подход вполне оправдан, поскольку подобное расщепление не должно
существенным образом менять асимптотического поведения системы.
Пример. Система
jc = (лл: - ел:3, е > 0, (5.10)
будет адаптируемой в указанном выше смысле по отношению к изменениям ц
вблизи ц = 0, даже если устойчивая фиксированная точка при ц < 0
расщепится на одну неустойчивую и две устойчивые точки при ц = 0. Важно
отметить, что эти две притягивающие точки остаются близкими.
Согласно данному выше определению, адаптируемость является качественным
свойством системы: система 2 будет либо адаптируемой, либо неадаптируемой
по отношению к возмущениям, принадлежащим подмногообразию Р. В
зависимости от конкретной ситуации возникает несколько вариантов введения
числовой характеристики, при помощи которой можно попытаться измерить
степень адаптируемости 2. Рассмотрим некоторые из них.
Минимальная адаптируемость. При таком подходе нас интересует диапазон
возмущений, принадлежащих многообразию Р, которые не вызывают
качественных изменений в поведении системы 2. По существу мы имеем дело с
представлением об адаптируемости, обсуждавшимся в предыдущих разделах.
Одна из возможных математических формулировок минимальной адаптируемости
следует из предположения, что задана метрика d(-, •), определенная на
"многообразии параметров" Р, и вводится
SP = {2' еР: 2' не адаптируема в смысле определения (5.8)}.
Тогда минимальная адаптируемость может быть определена следующим образом:
^min (2) = d (2, Sp).
Итак, /?min(2) представляет собой расстояние от системы 2 до блчжайшей (в
смысле d) неадаптируемой системы 2' в Р.
Адаптируемость по скорости. В качестве меры адаптируемости, более тесно
связанной с анализом чувствительности, можно рассмотреть "скорость"
изменения границ областей
Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем 193
притяжения при возмущении системы 2 до 2' внутри Р. Очевидно, что высокая
чувствительность границ области притяжения (граннц "ямы") не отвечает
интуитивному представлению об адаптируемости, даже если система
структурно устойчива, т. е. удовлетворяет условию, более сильному, чем
адаптируемость.
Мера адаптируемости по скорости вводится следующим образом:
tfs(2) = {nrn| sup^up[rf(i4it A'), d(Bt, в;)]} ,
где Рн - шар радиуса h в Р с центром в 2, а величины А и В определены
выше.
Отметим, что мера /?s(2) может быть равна нулю даже в случае адаптируемой
