Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Касти Дж. -> "Большие системы. Связность, сложность и катастрофы" -> 72

Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.

Касти Дж. Большие системы. Связность, сложность и катастрофы — М.: Мир, 1982. — 216 c.
Скачать (прямая ссылка): bolshiesistemisvyaznost1982.pdf
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 79 >> Следующая

управления типа открытого контура, поскольку управление не зависит от
текущего состояния процесса x(t), а является функцией только времени t.
Одно из основных положений современной (т. е. созданной во второй
половине 20-го века) теории управления состоит в том, что управление
должно быть функцией состояния, т. е. структура закона управления должна
иметь следующий вид:
и (t) = и (x(t), t).
Такие законы называются законами управления с обратной связью, поскольку
при этом рассматривается состояние системы, информация о котором
поступает обратно к исследователю, принимающему соответствующее решение
на основании данных о поведении системы, характеризуемом состоянием x(t).
Эти два принципиально различных подхода иллюстрируются на рнс. 5.21.
Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем 199
Для демонстрации глубоких изменений математического характера, которых
можно достигнуть при помощи управления с обратной связью, вернемся к
только что рассмотренному примеру скалярной линейной системы. Как было
показано, никакая ограниченная функция, соответствующая закону управления
типа открытого контура, не обеспечивает
а
x(t)
S
Рис. 5.21. Управление типа открытого (а) и замкнутого (б) контуров.
возможности добиться асимптотической устойчивости положения системы в
начале координат, если / > 0. Рассмотрим теперь простой линейный закон
обратной связи
и {х, t) = kx (/),
где k - постоянная, такая, что k~>f. Используя этот закон, получим
динамическое уравнение для замкнутого контура в виде
x = (f - k)x(t), лг(0) = с,
из которого следует, что положение в начале координат асимптотически
устойчиво для всех начальных возмущений с. Как будет показано ниже, этот
вывод является частным случаем одного из фундаментальных результатов
линейной теории систем - теоремы о смещении полюсов.
Теперь проанализируем различие между законами управления типа открытого и
замкнутого контура с физической точки зрения. Отметим, что сопоставление
этих двух типов законов управления можно провести следующим образом.
Законы типа открытого контура представляют собой попытку при помощи
внешних воздействий изменить поведение системы при сохранение соотношения
между состояниями не-
200 Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем
управляемой системы, т. е. без изменения связей между переменными
состояния. Законы типа замкнутого контура, или обратной связи, меняют
поведение системы в результате фактического изменения самой динамики
системы f(-, •). Следовательно, законы управления с обратной связью
видоизменяют соотношения между переменными состояния и в результате
изменяют траекторию x(t) системы путем фактического изменения ее
топологии.
УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ И СМЕЩЕНИЕ ПОЛЮСОВ
Простой пример, приведенный в предыдущем разделе, показывает, что в
случае скалярных линейных систем можно произвольным образом изменить
характеристическое значение (и, следовательно, свойства устойчивости)
системы путем использования закона управления типа линейной обратной
связи. Рассмотрим теперь возможность распространения этого результата на
многомерные системы.
Предположим, что система описывается линейными дифференциальными
уравнениями
х = Fx + Gu, х (0) = с,
где х - л-мерный вектор состояния, и - m-мерный вектор управления, F и G
- постоянные матрицы размерами n X я и nXw соответственно. Применение
закона управления с обратной связью
ы (0 = - Кх (t),
где К - постоянная матрица размером шХ", приводит, очевидно, к системе
типа замкнутого контура
х = (F - GK) х, лс (0) = с
и задача сводится к поиску ответа на следующий вопрос: всегда ли при
заданных F и G можно найти постоянную матрицу К, такую, чтобы собственные
значения матрицы F - GK были расположены в заранее выбранных точках
комплексной плоскости? Весьма примечательно, что ответ на этот вопрос
оказывается положительным при достаточно слабых предположениях
относительно матриц F и G. Основной результат содержится в следующей
теореме.
Теорема о смещении полюсов
Пусть пара матриц (F, G) полностью достижима, т. е. (я X т) -матрица
$ = [G\FG\..,\Fn-[G~]
Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем 201
имеет ранг п. Тогда для заданного произвольного множества комплексных
чисел А = {Я,ь ¦ ¦ ¦, всегда можно найти постоянную матрицу К, такую, что
собственные значения F- GK совпадают с множеством Л.
Замечания. 1. Условие достижимости (F, G) является достаточно общим
свойством, так как ему удовлетворяют "почти все" линейные системы.
2. Если множество Л симметрично, т. е. из условия ^еЛ следует ^еЛ, то
матрицу К можно выбирать действительной. В общем случае матрица К должна
быть комплексной.
3. Термин смещение полюсов заимствован из технической литературы, где
собственные значения матрицы F часто интерпретируются как "полюса"
рациональной передаточной матрицы-функции системы 2. Теорема утверждает,
что если система обладает свойством достижимости, то расположение этих
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 79 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed