Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.
Скачать (прямая ссылка):
системы 2, если положение аттракторов, или "ям", описывается
недифференцируемой функцией параметров. Например, система (5.10)
адаптируема, но для нее Rs(t) = 0.
Адаптируемость по объему. Размер области в пространстве состояний,
соответствующей желательной области притяжения, также может служить в
качестве меры адаптируемости, поскольку значительное уменьшение области
притяжения приводит почти к таким же серьезным последствиям, как и ее
полное исчезновение. Мера адаптируемости по объему вводится следующим
образом:
Rv (2) = Iim sup | v {В) - v (В') |,
Л->0 п
где В - желательная область притяжения, В' - соответствующая область
притяжения для 2' и v (•)- функция, измеряющая объем.
Заметим* что к определению адаптируемости по объему следует подходить с
осторожностью, поскольку для моделей высокой размерности (h > 2) области
притяжения ("ямы") часто имеют сложную структуру и могут иметь
значительный объем, в то время как граница будет по-прежнему близкой к
каждой точке области притяжения.
В заключение отметим, что по сравнению с теорией катастроф понятие
адаптируемости является более широким, причем это расширение достигается,
во-первых, благодаря учету аттракторов, которые имеют гораздо более
сложную структуру, чем фиксированные точки, и, во-вторых, вследствие
явного рассмотрения свойства областей притяжения. Перейдем теперь к
анализу различных методов организации устойчивой или адаптируемой
динамики системы, а также повышения степени ее устойчивости или
адаптируемости.
194 Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем
Экологический пример адаптируемости
Приведенные выше рассуждения об адаптируемости и динамических процессах
вряд ли можно сразу в полной мере оценить, поскольку они достаточно
формальны. Как обычно, наиболее интересными оказываются конкретные
задачи. В качестве одной из них рассмотрим важную для практики задачу
моделирования экологической системы, включающей популяцию гусениц
листовертки. Листовертка является насекомым-вредителем, периодически
разрушающим леса на больших территориях северовосточной части Северной
Америки. Динамика вспышек численности листовертки представляет интерес с
точки зрения системного подхода, поскольку наблюдаемые при этом резкие
колебания и множественные временные масштабы характерны для моделей
теории катастроф. Ниже описывается применение катастрофы типа сборки для
характеристики некоторых аспектов адаптируемости популяции листовертки.
Динамика роста и отмирания листовертки может быть представлена следующей
системой уравнений третьего порядка:
где B{t) - плотность популяции листовертки, S(t)-количество доступной
листвы в лесу и E(t)-переменная, характеризующая "энергетический резерв"
леса, т. е. качественное состояние листьев и веток. Параметры от а\ до аг
включают различные константы рождаемости и смертности, скорость выедания
листовертки хищниками и т. д. Искомая модель должна дать ответ на
основной вопрос динамики численности: какая комбинация значений
параметров вызывает резкий подъем плотности популяции листовертки с
низкого равновесного уровня на высокий, или наоборот, при каких значениях
параметров создается возможность снизить высокую плотность листовертки до
низкого равновесного уровня.
Для ответа на поставленный вопрос рассмотрим равновесные уровни для В, S
и Е. Обозначим их величины через В, § и Ё. После некоторых алгебраических
преобразований
Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем 195
Приведенных выше уравнений получаем, что величина равновесного уровня
плотности листовертки В удовлетворяет кубическому уравнению
- ct! (а3 + ?2) + уо.\а2Н3В2 -
- [у2а[а5?2 (а3 + ?2) + уа2а^Ё3] В + уа^с^Ё5 ¦=" О
(полагаем у = ав/ат). Чтобы привести это уравнение к стандартному
кубическому, необходимо исключить квадратный член. Это достигается путем
замены зависимой переменной
В-+у+ Ya2^U.
3(a3 + ?2)
Получаем новое кубическое уравнение относительно у
у3+"> + ?> = О,
где
_ [72a,o^2(a3 + Ё2) + у^&ьЁ? ~ у2а\а1Ё&
f-(A)73aiafBs>' , + , -Л
I tZtejT' 3(a,tg) -
"Лч^Е'-)
Поскольку равновесный уровень плотности листовертки В связан с переменной
у элементарными преобразованиями (см. выше), очевидно, что каноническая
поверхность типа сборки, определяющая поведение у как функции а и Ь,
определяет также изменение В. Это дает нам возможность полностью
представить поведение равновесного уровня В на одной схеме (рис. 5.20).
Поверхность сборки показывает, что никакие разрывы В невозможны при а ^
0, т. е. при
3 [Vaia5 (аз^2)2 + a2a/ (°з + ?2)] " >0.
Например, при низком значении энергетического резерва леса (Е та 0)
вспышки численности листовертки не будут
иметь места, так как приведенное выше выражение всегда будет
неотрицательным. Напротив, при высоких значениях Е(Е х 1) ни при каких
комбинациях реальных значений параметров нельзя избежать возможных
вспышек численности-листовертки. Это, однако, не означает, что такая
вспышка обязательно произойдет, поскольку для возможности пересечения
