Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Касти Дж. -> "Большие системы. Связность, сложность и катастрофы" -> 63

Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.

Касти Дж. Большие системы. Связность, сложность и катастрофы — М.: Мир, 1982. — 216 c.
Скачать (прямая ссылка): bolshiesistemisvyaznost1982.pdf
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 79 >> Следующая

концентрации (а2) Anabaena (Parks et. al., 1975].
• - • результаты наблюдений! X------X теоретические значения.
Рис. 5.10. Траектории переменных управления и переменных состояния для
концентрации (ctj) фосфата в окружающей среде [Parks et. al., 1975].
•-• результаты наблюдений: X-------------X теоретические значения; О-*~0
экспери-
ментальные значения.
(На рисунке по оси ординат должно быть cii.)
174 Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем
неправильной и нуждаться в уточнении. Поэтому только дальнейшие
эксперименты, включающие более подробное изучение концентрации фосфата,
могут дать материал для общей оценки пригодности модели.
КАТАСТРОФА ТИПА СБОРКИ И ЛОГИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
Возражения, которые встречает применение теории катастроф для
моделирования явлений природы, сводятся к тому, что при этом не дается
никакого физического обоснования для применения стандартного
канонического уравнения с целью описания результирующего уравнения.
Постараемся показать, что для моделирования многих процессов роста,
описываемых классическим логистическим уравнением, применение
канонической катастрофы типа сборки является логически обоснованным.
Логистическое уравнение, широко используемое в экологии для моделирования
возрастания или уменьшения численности популяций при наличии верхнего
предела емкости среды, имеет вид
х = (а - dx) х,
где а - внутренняя скорость роста без лимитирующего влияния среды и d -
вклад единицы популяции в уменьшение внутренней скорости роста вследствие
влияния плотности. Очевидно, что при ах = dx2 рост популяции
прекращается.
Одно из допущений логистической модели заключается в том, что закон
уменьшения внутренней скорости роста при добавлении к популяции каждой
следующей особи является линейным относительно х. Хотя экспериментальные
данные, по-видимому, подтверждают справедливость этого закона для разных
видов в различных условиях среды, тем не менее могут существовать
определенные сочетания видов и условий среды, для которых влияние
плотности более существенно, и поэтому внутренняя скорость роста в
подобных случаях может быть пропорциональна квадрату численности
популяции. Например, в случае загрязнения озер поступление биогенных
элементов из внешних источников минимально, что вызывает конкуренцию при
использовании доступного биогенного элемента даже при высоком уровне его
концентрации. Кроме того, известно, что Anabaena выделяет вещество,
токсичное для других видов фитопланктона, что может резко затормозить
развитие фитопланктона при его большой плотности.
Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем 175
Уточнение логистического уравнения, учитывающее указанные эффекты,
приводит к новому уравнению
х = (а - dx2) х.
С учетом вымирания отдельных видов имеем
х = (а - dx2) х - b,
или
х = - (х3 + (- а)х + Ь)
(полагаем величину d равной единице). Таким образом, логическое развитие
логистической модели немедленно приводит к каноническому уравнению
катастрофы типа сборки.
УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ВОЗМУЩЕНИЮ И по НАЧАЛЬНОМУ ЗНАЧЕНИЮ
В разделе, посвященном графам и процессам распространения возмущений, для
взвешенного орграфа было введено понятие устойчивость по возмущению.
Теперь введем понятие, алгебраического критерия устойчивости по
возмущению и по начальному значению и рассмотрим некоторые вопросы
относительно связи между устойчивостью графа и его топологической
структурой.
Основополагающим представлением при разработке критериев устойчивости
графов является представление о характеристических значениях взвешенного
орграфа. Для более четкой формулировки этого представления определим
матрицу взаимосвязи А для графа G следующим образом:
ciij f {ui, Uj), i, / 1, 2 .. ., n,
где mi, "2, •••, Un - вершины графа G, /(•, •)-весовая функция. Тогда
характеристические значения G определяются как собственные значения А.
Связь между значением Vj(t) в каждой вершине в момент времени t,
изменением значения pi(t) и матрицей взаимосвязи графа G дается следующей
теоремой.
Теорема о распространении возмущения
Для простого процесса распространения возмущения, начинающегося в вершине
щ, имеем
МО = 01%
и
v: (t) = Vi (0) + [/ + А А2 -|- ... + А*\/,
176 Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем
где А - матрица взаимосвязи для данного орграфа, [ • ] ц означает элемент
соответствующей матрицы, стоящий на пересечении i-й строки и j-го
столбца.
В качестве иллюстрации этой теоремы рассмотрим простой орграф
"4
В данном случае матрица взаимосвязи такова:
0 1 -1 0
0 0 0 1
0 0 0 -1
Л 0 0 0
А =
Предположим, что простой процесс распространения возмущения начинается в
вершине и\ в момент времени t = О, причем о,(0) = 0, /=1, 2, 3, 4.
Простое вычисление показывает, что
А2 =
0 0 0 2'
1 0 0 0
1 0 0 0
0 1 -1 0
1 1 -1 2'
1 1 0 1
1 0 1 -1
1 3 -1 3
В+Л+'А2 =
Поскольку процесс распространения возмущения начинается в вершине и\,
получим, что рг{2) определяется элементом, стоящим на пересечении первой
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 79 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed