Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.
Скачать (прямая ссылка):
действительной части собственного значения матрицы Якоби /(f) для данной
системы в начале координат. Утверждение 1 в сущности означает, что
равновесие в начале координат "дает бифуркацию" в замкнутую траекторию
определенного радиуса, пропорционального VM" Если начало было
притягивающей фиксированной точкой при (х = 0, то, согласно утверждению
2, в достаточно малой окрестности начала (в пространстве х\, х2, ц)
замкнутые траектории, возникающие из фиксированной точки, сами будут
притягивающими.
Итак, бифуркационная теорема Хопфа касается рождения замкнутых траекторий
из фиксированных точек равновесия, а также последующего динамического
поведения системы,
Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем 159
когда параметр ц проходит через критическое значение ц=0. Для
рассмотренных здесь двумерных систем только замкнутые траектории могут
представлять периодические решения. Для систем с большим числом измерений
ситуация оказывается намного сложнее.
Пример. Уравнение Льенара
Уравнение Льенара представляет собой хорошо известную нелинейную систему
дифференциальных уравнений, к которой часто приводят простые модели
колебательных явлений, например в динамике популяций или при описании
электрических контуров:
Xi-X2,
х2 = Xj + цх2 - х\.
Исследуя поведение этой системы при изменении параметра ц от
отрицательных до положительных значений, можно показать, что начало
координат х\ = х2 = 0 является точкой равно&есня системы при всех ц.
Кроме того,
Г° 1 1 Г 0 И
/(^[i ц-3^1 ]= L - 1 м
при Xi = х2 = 0. Собственные значения матрицы / таковы:
± л/ц2 - 4 ].
Рассмотрим значения ц, такие, что |ц|< 2. В этом случае Х(ц,)=т^ 0. Кроме
того, ReX(n) < 0 при -2 < ц < 2, ReX(ji) - = 0 при ц = 0 и ReX(n)>0 при 0
<; ц <; 2. Имеем также
^-ReMn)Uo = T>°-
Все условия бифуркационной теоремы Хопфа выполнены, следовательно,
существует однопараметрическое семейство замкнутых траекторий в
окрестности начала координат.
Для того чтобы выяснить, будут ли эти замкнутые траектории устойчивыми и
возникнут ли они при ,и > 0, необходимо использовать методы, выходящие за
рамки этой книги, поскольку начало координат не является притягивающей
фиксированной точкой; следовательно, мы не можем использовать вывод (3)
теоремы. Оказывается, однако, что Для этого уравнения периодические
замкнутые траектории
160 Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем
действительно являются притягивающими и бифуркация имеет место при ц > 0.
Заметим, что небольшое обобщение указанного примера позволяет рассмотреть
общее уравнение Ван дер Поля
u + f(u,n,)u + g (и) = 0
путем замены переменных х\ = и, х2 = й + /(м,.ц). Тем самым мы приводим
уравнение Ван дер Поля к общему уравнению Льенара
ху = х2 - / (х, (i), xa- - g(xl),
которое также может быть изучено при помощи теоремы Хопфа. Отсюда следует
вывод, что уравнение Ван дер Поля также приводит к устойчивым колебаниям
при ц>0, возникающим в результате бифуркации от неподвижной точки в
начале координат.
СТРУКТУРНО УСТОЙЧИВЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Принципиальным этапом в исследовании модели динамического процесса,
описываемого дифференциальным уравнением, является решение вопроса о том,
могут ли малые возмущения динамики системы привести к качественно иному
ее поведению. Мы уже упоминали об этом, как о проблеме структурной
устойчивости. В данном разделе будут представлены некоторые элементарные
результаты, касающиеся структурно устойчивых систем. Все математические
модели, описывающие физические явления, содержат упрощения, погрешности и
другие отклонения от действительности. Поэтому трудно переоценить
важность роли структурной устойчивости как существенной части основы
эффективного моделирования.
Рассмотрим два динамических процесса *2*-Fifth *а), "
Xi = G,(x"x2),_ x2 = G2(xlt доопределенных в круге D: + Предположим
далее,
что векторы (Fi, F2) и (Gi, G2) не совпадают с касательной к границе
области D и всегда направлены внутрь D. Опреде-
Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем 161
ление структурной устойчивости системы (I) было впервые дано Л. С.
Понтрягиным и А. А. Андроновым в следующей форме.
Определение 5.3
Дифференциальное уравнение (I) называется структурно устойчивым, если
существует б > 0, такое, что для любого дифференциального уравнения (II),
удовлетворяющего условиям
d(Fi-Gi)
\Fi-GiK 6,
дх/
<б, /,/=1,2,
во всех точках D, существует гомеоморфизм (взаимно однозначное
непрерывное отображение) h: D-+D, отображающий траектории системы (I) в
траектории системы (II) и сохраняющий ориентацию этих траекторий.
Другими словами, система (I) структурно устойчива, если для достаточно
близких систем (I) и (II) траектории (I) можно непрерывным образом
деформировать в траектории (II) при сохранении направления потока.
Для получения практических условий проверки структурной устойчивости
данного уравнения необходимо ввести несколько новых понятий.
Определение 5.4
Особой точкой дифференциального уравнения (I) является точка (х*, xi),
