Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.
Скачать (прямая ссылка):
В противоположность метафизическому подходу в основе математического
подхода к анализу устойчивости лежит описание системы с помощью
дифференциальных уравнений, причем цель анализа состоит в том, чтобы
определить, будет ли данное положение равновесия системы устойчивым по
отношению к возмущениям начальных условий. Различные проблемы, связанные
с классической механикой и устойчивостью планетных орбит (знаменитая
"задача трех тел"), поставили ряд задач, которые были в окончательном
виде сформулированы на рубеже нашего столетия в работах Ляпунова,
Пуанкаре и других исследователей. Основной вопрос теории устойчивости по
Ляпунову состоит в том, чтобы выяснить, вернется ли система в данное
положение равновесия спустя произвольно продолжительное время после
возникновения начального возмущения. Мы представим ниже два наиболее
важных результата, касающихся этого вопроса.
Рассмотрим сначала линейный случай, когда внутренняя модель системы
описывается системой дифференциальных уравнений
x = Fx, я(0) =а:0(=^= 0). (5.6)
Здесь F - постоянная матрица размером при этом
предполагается, что характеристический многочлен матрицы F известен и
имеет вид
(гг) = ч- "12Г"-1 Ч- ••• +an_iZ + an.
Исследуем асимптотическую устойчивость точки равновесия х = 0. Решение
уравнения (5.6) имеет вид
х (0 = eFtx0,
поэтому очевидно, что в результате произвольного ненулевого начального
возмущения хо система вернется при t-*-oо в положение равновесия в том и
только в том случае, если все корни характеристического уравнения матрицы
F имеют отрицательные действительные части. Поскольку корни последнего
совпадают с корнями многочлена \|)f(z), задача сводится к тому, чтобы с
учетом известных свойств коэффициентов этого многочлена установить
критерий, с помощью которого можно было бы определять, лежат ли корни
многочлена в левой полуплоскости. Соответствующий критерий был получен в
конце прошлого века английскими математиками Раусом и Гурвицем и был
сформулирован в виде следующей теоремы.
148 Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем
Теорема Рауса - Гурвица
Все корни многочлена 'фИг) имеют отрицательные действительные части в том
и только в том случае, если
1) все at > 0, i = О, 1, ..., п,
2) матрица размером n X п
а\ "Со 0 0 ... 0 0
а3 а2 аi а0 0 0
аз "4 "3 "2 ... 0 0
* ' *
i " •
0 0 0 0 ... ап-
0 0 0 0 .< * 0 ап
имеет только положительные главные миноры.
При помощи теоремы Рауса - Гурвица сравнительно простые алгебраические
выкладки дают возможность проверить устойчивость равновесия в начале
координат для линейной системы, если известен характеристический
многочлен матрицы F. Например, для гармонического осциллятора,
описываемого системой второго порядка
х + Ьх + сх = О,
x(0) = c1, jc (0) = с2,
матрица, фигурирующая в условии устойчивости, имеет вид
ч;:]-
Таким образом, применяя критерий Рауса - Гурвица, видим, что начальное
возмущение будет "затухающим" в том и только в том случае, если
1) Ь>0, с> 0,
2) Ьс>0,
т. е. только тогда, когда коэффициент "демпфирования" b дает эффект
положительного затухания.
К сожалению, требование, согласно которому многочлен ¦фр(г) должен быть
известен, существенно ограничивает практическое применение критерия Рауса
- Гурвица, особенно для систем высокой размерности. В подобных случаях
было бы желательно иметь в распоряжении такой критерий устойчивости,
который мог бы применяться непосредственно к элементам матрицы F.
Подобный критерий был разработан Ля-
Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем 149
пуновым на основании следующего простого физического представления о
положении равновесия: равновесное состояние системы асимптотически
устойчиво, если все траектории процесса, начинающиеся достаточно близко
от точки равновесия, идут таким образом, что приводят к минимуму
подходящим образом определенную "энергетическую" функцию, причем
положение локального минимума энергии соответствует самой точке
равновесия.
Рассмотрим сначала использование этого критерия применительно к общему
нелинейному уравнению
x = f(x), *(О) = лг0> (5.7)
а затем применительно к линейному уравнению, когда f(x) = = Fx.
Предположим, что f(0) = 0 и что функция f непрерывна в окрестности начала
координат.
Математическое описание энергетической функции содержится в следующем
определении.
Определение 5.1
Функция V(x) называется функцией Ляпунова (энергетической функцией)
системы (5.7), если
1) т=о,
2) ^(л:)>0 для всех 1^0 в окрестности начала координат,
3) dV{x)/dt<i 0 вдоль траекторий системы (5.7). Основной результат,
полученный Ляпуновым, был им
сформулирован в виде теоремы об устойчивости.
Теорема Ляпунова об устойчивости
Положение равновесия х - 0 системы (5.7) асимптотически устойчиво в том и
только в том случае, если существует функция Ляпунова F(*) системы.
С целью применить эту теорему к линейной системе (5.6) выберем в качестве
кандидата на функцию Ляпунова следующую функцию:
