Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.
Скачать (прямая ссылка):
систем, заданных внешним описанием, несмотря на принципиальное и
существенное различие в методах описания системы в каждом из этих
случаев. В заключение данного раздела следует
отметить, что на примере простого графа видно, что устойчивость по
возмущению не означает наличия устойчивости по значению, хотя обратное
справедливо.
УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ "ЧЕРНЫЙ ЯЩИК"
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
Рассмотрим более подробно вопрос, поставленный выше, и проанализируем
внешнее описание системы, обсуждавшееся в разделе о внешних описаниях,
используя несколько математических понятий1).
Определим сначала условия, которые необходимо наложить на операторы G и
Я, чтобы гарантировать получение ограниченных выходов системы при
ограниченных входах. Следует отметить, что для успешного решения проблем
устойчивости нелинейных систем с обратной связью пока существуют только
два общих подхода: теоремы о малом коэффициенте усиления и условия
инертности. Чтобы пока-
') Для читателей, не знакомых с понятиями банахова и гильбертова
пространства, вполне достаточно представлять себе X как евклидово
пространство Rn.
Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем 145
зать, каких результатов можно ожидать при использовании этих подходов,
приведем следующие теоремы.
Теорема о малом коэффициенте усиления
Пусть G и Н - отображения расширения X банахова пространства X над [0,
оо] в себя, а л:г(-) обозначает сужение функции х^Х на [О, Г]. Тогда
система с обратной связью
е, =*= и, - Не2,
' * (5.5)
е2 = "2 "г Gex
устойчива, если существуют константы k\, k2, m\, m2, такие, что
|| (Gx)T || ^ kx || хт || + /л,,
|| (Нх)т || ^ k21| хт || + пг2,
a k\k2 < 1 (здесь || • || обозначает норму в X).
Физическая интерпретация этой теоремы очень проста: пусть G и Н
соответствуют устойчивым подсистемам, тогда если G или Н достаточно малы
относительно предела устойчивости другой системы, то система с обратной
связью (5.5) также устойчива. По существу, теорема дает точные
количественные границы вместо качественного предположения "достаточной
малости", и система в целом будет устойчива, если произведение
коэффициентов усиления подсистем меньше единицы.
Преимущество теоремы о малом коэффициенте усиления состоит в том, что ее
легко применять на практике, так как оценка коэффициентов усиления k\ и
k2 обычно не вызывает затруднений. Кроме того, если условие k\k2 •< 1 не
выполнено, то обычно определяется вид "компенсации", необходимой для его
выполнения. Заметим далее, что тип устойчивости, гарантируемый теоремой о
малых коэффициентах усиления, зависит от конкретного банахова
пространства X. Так, если X = ?г[0, оо], то удовлетворение условий
теоремы гарантирует /^-устойчивость. В частности, случай ограниченный
вход - ограниченный выход охватывается выбором Х =
= Loo [0, оо].
Самый простой пример применения теоремы о малом коэффициенте усиления
соответствует случаю, когда G и Н - линейные инвариантные по времени
операторы, т. е.
т
(iGx)T =^g{T - s)x (s) ds,
0
T
(Hx)T = ^ h (T - s) x {s) ds.
146 Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем
Тогда можно легко показать, что если X - пространство непрерывных функций
на [О, Г], то условие теоремы будет выполнено, если
( sup | g (г) |V sup | Л (г) |\ < 1.
V 0<г<Г ) V 0<г<Г )
Заметим, что если G -линейный инвариантный по времени оператор, а Н -
оператор, не обладающий памятью, то теорема о малом коэффициенте усиления
сводится к критерию Попова.
Будем считать теперь X гильбертовым пространством, т. е. банаховым
пространством, в котором норма ||-|| определяется скалярным
произведением. В этом случае можно получить другой тип теоремы об
устойчивости.
Теорема инертности
Пусть X - вещественное гильбертово пространство на [О, оо] со скалярным
произведением <•, ->. Тогда система
(5.5) устойчива, если существуют такие константы k, Ш|, тг, тз, б, е, что
{{Gx)T, (Gx)T) < k (хт, хт) + ть (хТ, (Gx)T) > 6 (хт, хт) + т2,
(хт, (Нх)Г)>е((Нх)т, (Нх)т) + т3,
6 + е > 0.
В терминах теории электрических цепей физический смысл теоремы инертности
таков: пусть и\ и е\ - функции напряжения, G - оператор проводимости, "2,
ег - функции токов, а Н - оператор импеданса, тогда вышеприведенные
неравенства означают, что если G имеет проводимость по крайней мере б, а
Я имеет проводимость по крайней мере е, то система устойчива, если
суммарный уровень проводимости G и Н положителен.
Заметим, что как теорема о малом коэффициенте усиления, так и теорема
инертности дают только достаточные условия устойчивости нелинейной
системы с обратной связью. Много работ посвящено также методам получения
критериев неустойчивости. Однако изложение основных результатов этих
работ потребовало бы слишком высокого уровня формализации по сравнению с
принятым в этой книге, поэтому мы отсылаем заинтересованного читателя к
ссылкам в конце главы.
Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем 147
ВНУТРЕННИЕ МОДЕЛИ И УСТОЙЧИВОСТЬ
