Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.
Скачать (прямая ссылка):
устойчивости, грубо говоря, эквивалентно' определению чисел di,
удовлетворяющих выписанному выше неравенству, причем наименьшее из d\
должно быть Настолько большим, насколько возможно.
Для того чтобы продемонстрировать применение теоремы связной
устойчивости, рассмотрим следующую модель системы хищник - жертва,
включающую четыре вида. Уравнения динамики системы таковы:
&i=t4xxi + biXiX3.~D1(xl) + D3fy3}t'
= a2Xi+ ~ D2(x2)+D4(x4),
$я = <Мз + b3x 3X4 - D3(x3)+?>j(xj), x4 " й4х4+ b4x4x3 - D4(x4) + D2(x3)i
где переменная Xi(t) представляет популяцию i-го вида, Di(xi) - скорость
расселения популяции г-го вида, ак и bk - постоянные. Физически вполне
оправданно принять функциональные зависимости для Д-(-) следующими:
Di(xt) = xift{xl),
156 Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем
что мы и будем предполагать в дальнейшем. Наша цель состоит в определении
условий, налагаемых на постоянные at, bi и функции ft(xi), при которых
обеспечивается связная устойчивость положения равновесия системы в начале
координат.
После введения предположения о структуре Di(xi) уравнения динамики
системы принимают форму (5.9), в которой
А(х, <) =
ai+.bjxj-/1(xl)- 0 f3(x3) О
О a2 + b2xl-f2(x2) О /4('х4)
fi(xi) 0 a3 + b3x4~f3(x3) О
О f2(x2) 0 d4+b4xi~f4(x4)
Следовательно, матрица взаимосвязи в данной задаче такова:
В =
а функции -ф,- и Ирц имеют вид "й = '-(а, + Ь1х2-/,(*,)), i?3 -
~(a3'tbix4~f3(xi)).
i 0 1 0"
0 1 0 1
i 0 1 0
0 1 0 1
Ф2 b2x, - f2(x2%
tfa +b4x3-/4(x4))s
все остальные = 0.
Для того чтобы применить теорему, необходимо сначала найти постоянные at,
ац ^ 0, такие, что
a2+М j - /2(х2). s'-d2 < О,
<*э+ ЬгхА" f3(x3) ^-а$< О, йл+Ь4Хз - f4(x4) < -a4 < О,
Шх2)\^а42,
|/з(*з)1 -а}'з" \f4(x4)[^aiX
Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем 157
Тогда условия Хикса в теореме о структурной устойчивости будут
удовлетворены в том и только в том случае, если
1) ai > О,
2) aia2 > О,
3) aia3 > ai3a3i,
4) aia2a3a4 + ai3a3ia24a42 > aia3a24a42 + a2a4ai3a3i.
Таким образом, условия 1-4 определяют область в пространстве состояний
(*i, х2, хз, х4), для которой начало координат асимптотически устойчиво
при любых возмущающих функциях ft (т. е. при любых скоростях расселения)
и любых a,-, bi.
БИФУРКАЦИЯ ХОПФА
Теория связной устойчивости дает критерии, которым должны удовлетворять
параметры системы с тем, чтобы положение равновесия в начале координат
было асимптотически устойчиво при всех взаимосвязях между подсистемами.
Однако при изменении одного из параметров до критического значения
теорема перестает быть справедливой и возникает естественный вопрос о
характере преобразования исходного положения равновесия, соответствующего
данному изменению параметра. В общем случае нас интересуют критические
значения параметров системы, при которых точка равновесия качественно
меняет свой характер (например, аттрактор переходит в центр, притяжение
сменяется отталкиванием).
В случае этой простейшей разновидности проблемы "бифуркации" можно
предположить, что изменяется только один параметр системы. Выше уже
приводился пример проблемы такого типа, в котором кратко рассматривался
принцип структурной устойчивости. Основной результат для целого класса
таких задач был получен Хопфом.
Рассмотрим двумерный случай, когда динамика системы описывается
уравнениями
x{ = f{(xv х2, ц), х1(0)=х°,
*2 = ^2 Х2< И')" *2 ((r)) =
Несколько более сложным будет л-мерный случай, но основные результаты по
существу остаются неизменными.
Основной результат, характеризующий изменения поведения устойчивости
системы при изменении ц, заключен в бифуркационной теореме Хопфа.
Бифуркационная теорема Хопфа (в R2)
Пусть функции f 1 и /2 по крайней мере четыре раза дифференцируемы по
каждому аргументу и f(0, 0, ц) ="
158 Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем
= fa (О, О, ц) = 0 при всех действительных ц. Допустим далее, что матрица
*!±
дхг
дхг
.Ml
дх2
дЬ
дх2
(Хъ Х2) = (О, О)
имеет два различных комплексно-сопряженных собственных значения Я(|х) и
Мц), таких, что ИеЦ(х) > О при (х > 0. Предположим также, что
^[ИеЯМЛ^Х).
Тогда
1. Существует дважды дифференцируемая функция ц: (- е, е) -> R, такая,
что начальная точка (л:°, О, ц ) лежит на замкнутой траектории периода
2я/| Я (ц) |, радиус которой
растет как д/(Г пРи x°i Ф О, ц (0) = О.
2. Существует окрестность U точки (О, О, 0) в R3, такая, что любая
замкнутая траектория, лежащая в U, - это одна из замкнутых траекторий
указанного выше семейства.
3 Кроме того, если точка О - аттрактор при ц = О, то ц(лгу) > О для.всех
х(r) Ф О и замкнутые траектории являются притягивающими.
Замечание. Замкнутой траекторией в R2 является любая точка х*, такая, что
x(t) = x(t + Т) = х* для некоторого Т > 0. В частности, точки равновесия
- замкнутые траектории.
Согласно теореме Хопфа, траектории системы могут менять свое поведение
при удалении ц от нуля, и характер этого изменения зависит от величины
