Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
U-I =^5-1(?)^ (4.2)
і
и для всех X Є H мы имеем
S2(X) = uxu-1. (4.3)
Доказательство. Сначала покажем, что S2(x)u = их для всех х. Если у принадлежит H ® Н, то соотношение (2.1) влечет равенство
(Aop <8 id) (у) (Л ® 1) = (Я ® 1)(Д ® id) (у)
вН®Н®Н. Когда у = А (ж) для некоторого х Є H, мы получаем
У] XnSi ® x'ti ® Xі" = E Six' ® Ux" ® Xі".
і,(х) г,(х)
К последнему равенству мы применим линейное отображение из H ® H ® H в Н, которое представляет собой композицию отображения id# ® S ® S2 с умножением в обратном порядке. Это дает
Y S2(x"')S(x'U)x"si = Y S2(x'")S(tix")Slx',
i,(x) i,(x)
или, что эквивалентно,
Y S2(x'")S(U)S(x')x"si = J2 S2(x'")S(x")S(U)six', (4.4)
i,(x) i,(x)
поскольку антипод является антиавтоморфизмом алгебры. Вычислим сперва левую часть равенства (4.4). По определению антипода и коединицы мы имеем
Y s(x')x" ® х"' = Y ?(х')1 ®х" =1 ® ® •
(X) (!) 228 Глава 8. Уравнение Янга-Бакстера и (ко) сплетенные биалгебры
Значит, S(x')x" ® S2(x'" ) = 1 ®S2(x). Умножая обе части справа на Yli si ® S(U), получаем
Y S(x')x"si ® S2(Zw)Sfc) = S2(X)S(U).
і,(х) г
Следовательно, для левой части (4.4) мы имеем
J2 S2(x"')S(U)S(x')x"si = Y S2(X)S(U)si = S2(x)u. (4.5)
і,(х) і
Соотношение S2(x)u = их является теперь следствием (4.4), (4.5) и равенства
S2(x'")S(x")S(ti)six' = их. (4.6)
г,(х)
Докажем (4.6).
JV ® S(x"S(x"')) = Y х' ® 5(ф")1) = J2 х'є(х"ї ® sW = * ® L
(х) (х) (х)
Умножая слева на и ® 1, получаем
J2 S(U)SiX1 ® S2(x"')S(x") = их ® 1,
г,(х)
что влечет равенство (4.6) после применения умножения в Н. Остается показать, что элемент и обратим. Положим
^2^1??, (4.7)
і
где Л-1 = Yli Si® U- Тогда
uv = YuS^(U)Si = "Y]S(tj)usi, і і
что вытекает из первой части доказательства. Следовательно,
UV = YS(tjti)sjSi = S(I)I = 1, і j
так как YlijSjSi ® tju = RR"1 = 1 ® 1. Отсюда следует, что 1 = uv = S2(v)u, а, значит, и имеет левый и правый обратный, равный v. ? 8.4. Квадрат антипода в сплетенной алгебре Хопфа
229
Заметим, что S2(и) = и и S2 (и l) = и
Следствие 8.4.2. При выполнении условий предложения 4.1 мы имеем uS(u) = S(u)u. Этот элемент uS(u) является центральным в алгебре Н.
доказательство. Пусть о; — произвольный элемент алгебры Н. Применение S к равенству их = S2(x)u дает S(x)S(u) = S{u)S3{x). Заменяя X на S-1 (ж), получаем
xS(u) = S{u)S2(x) = S(u)uxu-\
следовательно, xS(u)u = S(u)ux. Это доказывает, что S(u)u — центральный элемент в Н. Для х = и эта формула дает uS(u) = S(u)u. ?
Любой модуль V над алгеброй Хопфа H с обратимым антиподом имеет два двойственных: V* и *V. Как линейные пространства они совпадают с векторным пространством линейных функций на V. Тем не менее действия алгебры H на них различны: в пространстве V* элемент а Є H действует на линейной функции а по формуле
(аа, ¦) = (a, S(a) ¦),
а на *V — по формуле
{аа, ¦) = (a, S~1(a) ¦).
Используя определяющее свойство антипода, мы видим, что отображения вычисления »•kHV®*V—>k являются ії-линейными (обратите внимание на точный порядок тензорных сомножителей). Элемент и индуцирует изоморфизм между этими двойственными модулями, который определен в следующем предложении.
Предложение 8.4.3. Если H — квазикокоммутативная алгебра Хопфа, то отображение а а(и?) из V* в *V является изоморфизмом Н-модулей.
Через а(и?) мы обозначаем линейную функцию v t—> a(uv). 230 Глава 8. Уравнение Янга-Бакстера и (ко) сплетенные биалгебры
Доказательство. Положим j (а) = а(и?). Отображение j биективно, поскольку элемент и обратим. Покажем, что j является Я-линейным. Для любого V Є V соотношение (4.3) влечет
(j(aa),v) = (a(S(a)u?),v) = - (a, S(a)uv) = = (a, S2 (S"1 (a))uv) = = (a,uS~1(a)v) = = (j(a), S^(U)V) =
= (aj(a),v). ?
Определим дважды двойственные модули V** и **V как V** = (V*)* и **V = *(*V). Читателю предлагается доказать следующее предложение.
Предложение 8.4.4. В условиях предложения 4.3 отображение V н-»- (¦ ,uv) (соответственно отображение v (-,u_1v)) из V в V** (соответственно в **V) есть Н-линейный мономорфизм.
Теперь мы предположим, что алгебра Хопфа H сплетена. Тогда согласно формуле (2.13) и предложению 4.1 обратный к и элемент равен
и-1 = Y S^(U)S(si) = Y S~2(U)si- (4.8)
і і
В случае сплетенной алгебры мы имеем также следующие соотношения на и.
Предложение 8.4.5. Если H — сплетенная алгебра Хопфа, то элемент и удовлетворяет соотношениям
є(и) = 1, Д(и) = (R21R)~l(u ®и) = (и ® u)(R2iR)~\ A(S(u)) = (R21R)-1 (S(u)®S(u)) = (S(u)^S(u))(R21R)-1,
а для центрального элемента uS(u) мы имеем
A(uS(u)) = (R21R)'2 (uS(и) ®uS(u)) = (uS(u) ® uS(и)) (R21R)'2.
Доказательство, (а) Соотношение є(и) = 1 следует из (2.12). 8.4. Квадрат антипода в сплетенной алгебре Хопфа
231
(б) Вычислим Л (и). Применяя переставляющее отображение т#,# к равенству (2.1), получаем
Д(а) = R21Aop(U)R21 (4-9)
для всех а Є Н. Соотношения (2.1) и (4.9) влекут
A(a)R21R = R21RA(a)> (4.10)
для всех а Є Н. Вследствие равенства (4.10) достаточно показать, что A(U)R21R = и®и. Снова из (4.10) и по теореме 3.3.4 мы имеем
