Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кассель К. -> "Квантовые группы" -> 75

Квантовые группы - Кассель К.

Кассель К. Квантовые группы — Фазис, 1999. — 698 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantoviegruppi1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 199 >> Следующая


для всех X Є Mq(2). Таким образом, г обращается в нуль на / <8 Mg(2) и на Mq(2) (8 /, и, следовательно, г определяет билинейную форму

г(о (8 det,) = q~l/2qq~1/2 + 0- 0- 0 = 1= є(о).

Дальнейшую проверку мы оставляем читателю.

?

r((detg -1) (8 х) = г {х (8 (detg -1)) = 0

на SLq(2).

?

Замечание 8.7.5. Нормировочный множитель q~1!2 перед Д-матрицей в формуле (7.1) введен специально таким образом, чтобы ограничение г на идеал, задающий SLq{2), равнялось нулю. 248

Глава 8. Уравнение Янга-Бакстера и (ко) сплетенные биалгебры

8.8. Упражнения

1. Рассмотрим матрицу вида

(P 0 0 0 \
0 а Ъ 0
0 с d 0
^ 0 0 0 я >

Покажите, что она является решением уравнения Янга-Бакстера тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

adb = adc = ad(a — d) = О, р2а = pa2 + abc, q2a = qa2 + abc, p2 d = pd2 + dbc, q2d = qd2 + dbc.

2. Рассмотрим алгебру Хопфа H из примера 2 параграфа 2. Покажите, что автоморфизм ц> алгебры Хопфа H такой, что (ip ® ip)(R\) = R\t, существует тогда и только тогда, когда найдется ненулевой скаляр /х такой, что А' = /х2Л.

3. Найдите все структуры (ко)сплетенной биалгебры на групповой биалгебре конечной группы.

4. Пусть H — конечномерная биалгебра, Н* — двойственная биалгебра. Покажите, что Н* косплетенная тогда и только тогда, когда H сплетена.

5. Пусть H — косплетенная биалгебра относительно универсальной Д-формы г. Покажите, что

Т:23 * 7°13 * П2 = T12 * T13 * 1"23-

6. Пусть (H,/j,,rj,A,e,S,S~l,r) — косплетенная алгебра Хопфа с обратимым антиподом S.

(а) Покажите, что г о (г) <8> id#) = г о (id# <8>r}) = є и

г о (S (Sidn) = г, г о (id# ® S) = г, г о (S(S)S)= г. 8.8. Упражнения

249

(б) Определим линейную функцию и на, H как и = г о (idя <8 5) ° о Д°р. Покажите, что и — обратимый элемент в ff* и что S2 = (77ou)*idя*(^?0й), где й обозначает элемент, обратный к и относительно операции свертки.

7. Пусть (Н, р,т], А, є,г) — косплетенная биалгебра. Определим линейные отображения ГА и Ar из H в Н* формулами rX(x) = г( ¦ ®х) и Ar(х) = r(x ® • ). Покажите, что ГА является антигомоморфизмом, a Ar — гомоморфизмом алгебр, а если H конечномерна, то ГА есть гомоморфизм, a Ar — антигомоморфизм коалгебр.

8. Пусть А — алгебра k{s,?, ?-1}/(s2, st + ts). Покажите, что следующие формулы корректно задают структуру косплетенной алгебры Хопфа на А:

A (t) = t®t, A(s) = s <8 1-И"1 <8 s, e(t) = 1, ф) = 0, S(t) = Г1, S(s) = st, r(t ®t) = -1, r(s <8 t) = r(t <8 s) = r(s <8 s) = 0. Проверьте, что антипод 5 имеет порядок 4.

9. Пусть с є Aut(F <8 V) — решение уравнения Янга-Бакстера, и с' = Tyy °с о туу- Покажите, что имеют место следующие изоморфизмы:

Aic-1) ^ А{с) и А(с') = А(с)ор.

10. Пусть с — Д-матрица из предложения 1.4. Докажите, что А{с) есть алгебра, порожденная образующими (T-)i^ij^j^ и соотношениями

грГПгрП _ грПгрТП грГПгрГП _ грГПгрТП

rTim -Li 1I —Ч1І1І 1 'ji-Lj 1I —(i1i -Lj )

гJi TfTla = rnm TlnTn, Tji TJnTn - rmn TnTJn = (q- pq~l) TjnTn,

где i,j,m,n пробегают все натуральные числа ^ N такие, что і < j и m > п.

11. Используя описание универсальной Д-формы на SLq (2), найдите - все Д-матрицы на 5Ь9(2)-комодуле Щя,у], построенном в параграфе 4.7. 250 Глава 8. Уравнение Янга-Бакстера и (ко) сплетенные биалгебры

8.9. Замечания

Уравнение Янга-Бакстера впервые появилось в работе Янга [Yan67] как условие факторизации S-матрицы рассеяния в многочастичной одномерной модели, и в работах Бакстера [Вах72], [Вах82] о точно решаемых моделях статистической механики. Оно сыграло также важную роль в квантовом методе обратной задачи, созданном около 1978-79 гг. Фаддеевым, Скляниным, Тахтаджяном [Fad84] для построения квантовых интегрируемых систем. Попытки найти способ систематически получать решения уравнения Янга-Бакстера привели к созданию теории квантовых групп (см. [Dri87]). Построению Д-матриц посвящено множество работ, среди которых мы упомянем лишь несколько: [Dri85], [Dri87], [Jim86a], [Jim86b], [KS80].

Понятия квазикокоммутативной и сплетенной (или квазитреугольной) алгебры Хопфа принадлежат Дринфельду [Dri87], [Dri89a]. Их обзор содержится в [Maj90b]. Конструкция четырехмерной алгебры Хопфа из примера 2 параграфа 2 принадлежит Свидлеру. Универсальные R-матрицы R\ были найдены Радфордом [Rad93a].

Двойственное понятие косплетенной биалгебры появлялось в работах [Нау92], [LT91], [Maj91b], [Sch92]. Косплетенные биалгебры имеют свойства, двойственные к свойствам сплетенных биалгебр. Мы привели некоторые из них в упражнениях 5-7.

Конструкция РТФ принадлежит Решетихину, Тахтаджяну и Фад-дееву [RTF89]. Биалгебры Мр<д(2) и Мд(п) из параграфа 4.10 можно получить этим методом (см. упражнение 10). В параграфах 5, 6 мы следовали трактовке, предложенной в [LT91].

Упражнение 1 взято из [Каи91], а упражнение 2 — из [Rad93aj. Косплетенная алгебра Хопфа из упражнения 8 была найдена Парей-гисом [Раг81] до возникновения теории квантовых групп. Глава 9

Квантовый дубль Дринфельда

В предыдущей главе мы показали, что сплетенные алгебры Хопфа порождают решения уравнения Янга-Бакстера. Теперь наша задача состоит в нахождении достаточного запаса таких алгебр. Дринфельд в [Dri87] нашел остроумный метод — «конструкцию квантового дубля» — который позволяет строить сплетенные алгебры Хопфа, исходя из любой конечномерной алгебры Хопфа с обратимым антиподом. Цель настоящей главы состоит в детальном описании этой конструкции и демонстрации, как она применяется к конечномерным фактор-алгебрам алгебры Хопфа Uq(sl(2)), рассмотренным в параграфе 6.5. В параграфе 5 мы дадим также некоторую характеризацию модулей над квантовым дублем.
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed