Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
9.1. Бискрещенные произведения групп
Конструкция квантового дубля является частным случаем конструкции бискрещенного произведения. Поскольку последняя довольно запутанная, мы начнем с аналогичной конструкции для групп, принадлежащей Такеучи [Так81]; речь идет о бискрещенном произведении групп, которое обобщает понятие полупрямого произведения.
Пусть G•— некоторая группа с подгруппами H и К. Предположим, что для любого элемента х Є G существует, и притом единственное, разложение x в виде
x = yz, (1.1)
где (у, z) Є H х К. Тогда каждой паре (у, z) Є H х К можно корректно сопоставить элемент z • у из H и элемент zy из К такие, что
zy = (z- у) zy.
(1.2) 252
Глава 9. Квантовый дубль Дринфельда
Пусть у, у' — элементы группы Н, a z,z' — элементы К. Сопоставление левой и правой частей соотношений ассоциативности
(.zz')y = z(z'y) и z(yy') = (zy)y'
приводит к следующим соотношениям:
(ZZt)-V = Z-(Z1-V), (1.3)
(zz'f = zz'-yz,y, (1.4)
z-(yy') = (z-y)(z«-y'): (1.5)
zw' = (zy)y'. ' (1.6)
Аналогично, раскрывая равенства z = z\ и у = Iy, получаем
z-l = l, (1.7)
Z1=Z, (1.8)
1-У = У, (1.9)
1» = 1. (1.10)
Соотношения (1.3) и (1.9) в точности означают, что отображение а: К X H —У H, заданное формулой
a(z,y) = Z-у,
является левым действием группы К на множестве H. Аналогично, равенства (1.6) и (1.8) означают, что отображение ?\ К х H —> К, заданное формулой
?(z,y)=zy,
есть правое действие группы H на множестве К. Дадим следующее определение.
Определение 9.1.1. Пара групп (Н,К) называется сочетающейся, если заданы левое действие а группы К на множестве H и правое действие ? группы H на множестве К такие, что для всех у, у' Є Ни z,z' Є К имеют место соотношения
(.zz'Y = zz'-yz'y, (1.4)
Z-(Vy1) = (Z-V)(Zy-Vt), (1.5)
г-1 = 1, (1.7)
Iу = 1, (1.10) где a(z,y) = Z - у и ?(z,y) = zy. 9.2. Бискрещенные произведения биалгебр
253
Предложение 9.1.2. (а) Пусть (Н,К) — сочетающаяся пара групп. Тогда на декартовом произведении HхК существует, и притом единственная, групповая структура с единицей (1,1) такая, что
(y,z)(y',z') = (y(z-y'),zy'z')
для всех у, у' Є H и z, z' Є К. Эта группа называется бискрещен-ным произведением групп HuKu обозначается через H Xi К. Кроме того, группы HuK можно отождествить соответственно с подгруппами H x {1} и {1} x К группы H Xi К, а любой элемент (y,z) из H Cxi К единственным образом представляется в виде произведения элемента из H х {1} и элемента из {1} х К:
(y,z) = (y,l)(l,z),
где у Є Н, z Є К.
(б) Обратно, пусть G — некоторая группа, a H и К — ее подгруппы такие, что умножение в G индуцирует биекцию из H х К в G. Тогда пара (Н, К) обязательно является сочетающейся, а указанная биекция дает изоморфизм из бискрещенного произведения H Xi К в G.
Доказательство, (а) Нетрудно проверить, что определенное выше произведение в H Cxi К ассоциативно, а (1,1) является единицей. Подробности мы оставляем читателю.
Чтобы доказать обратимость элемента (у, z) в бискрещенном произведении, найдем сначала элементы у' Є H и z' Є К такие, что
(y,z)(y',z') = (l,l).
По определению умножения это равенство эквивалентно следующим двум соотношениям:
y(z-y') = 1 и Zy'z' = 1. Из первого мы получаем
У' = Z-1 -(Z- у') = Z'1 -у'1, и тогда из второго имеем 254
Глава 9. Квантовый дубль Дринфельда
Положим (y',z')(y,z) = (Y,Z), где у' и z' принимают указанные выше значения. Мы должны показать, что (Y,Z) = (1,1)- Умножая предыдущее равенство слева на (y,z), мы получаем
(y,z) = (y,z)(Y,Z) = (y(z-Y),zYZ).
Отсюда следует, что
Y = Z'1 -(Z-Y) = Z'1 -1 = 1 и Z = (Zy)-1Z = Z-1Z = 1.
Таким образом, элемент (у, z) обратим и обратный к нему равен
(у,Z)-1 = (z-1-y-\(zz~1-y-1r1).
Легко проверить, что
(у,1)(у',1) = (уу',1), (1 ,z)(l,z') = (l,zz') и (y,l)(l,z) = (y,z),
что завершает доказательство утверждения (а).
Для доказательства утверждения (б) достаточно еще раз взглянуть на рассуждение, которое привело нас к определению 1.1. ?
Пример 1. (Произведение групп.) Пусть H ж К — некоторые группы, и пусть каждая из них действует на другой тривиально, что в предыдущих обозначениях записывается в виде
Z ¦ у = у и zy = z.
Тогда пара (H, К) является сочетающейся, а бискрещенное произведение H м К изоморфно обычному произведению групп H X К.
Пример 2. (Полупрямое произведение групп.) Пусть даны группы H и К. Предположим, что H действует на К тривиально, то есть Zy = z, а К действует на H автоморфизмами, что записывается в виде
(УУ') = {z-y)(z-y) и 2-1 = 1
для всех у,у' Є H иг Є К. Тогда (Н, К) есть сочетающаяся пара, а бискрещенное произведение H Cxi К изоморфно полупрямому произведению К и Н. В этом случае равенство (1, z)(y, 1)(1, г)-1 = ((z-y), 1) показывает, что Я X {1} является нормальной подгруппой группы H cxi К и что действие К на H соответствует сопряжению в бискрещенном произведении. 9.2. Бискрещенные произведения биалгебр
255
9.2. Бискрещенные произведения биалгебр
Мы видели в главе 3, что групповая алгебра имеет естественную структуру алгебры Хопфа. Теперь мы зададимся следующим вопросом: для данной сочетающейся пары групп (H, К) можно ли построить групповую алгебру группы H м К, исходя из информации о групповых алгебрах k[Н] и k[if]? Чтобы ответить на этот вопрос, мы сперва выразим действие группы на множестве в терминах ее групповой алгебры. Рассмотрим ситуацию, когда группа G действует на множестве X с помощью отображения
