Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Av®v(c(vi <8 Uj)) - (idA(c) (8 c)(Ay®y(ui <8 Uj)) =
= E TkTi ® cijvm ®vn- E T^T1j ® C^vm ® vn
k,l,m,n fc,J,TO,n
в v4(c) (8 F (8 V" обнуляется. Ho очевидно, что последнее выражение есть
EcZ
7%п ®vm®vn
что равно нулю по определению А(с).
5. Теперь мы докажем универсальность А(с). Пусть (A', A1v) — пара, удовлетворяющая условиям теоремы 6.1. Тогда в А' существует семейство элементов (и\корректно определенных из равенства
av(?) = e ui ® vj- 240
Глава 8. Уравнение Янга-Бакстера и (ко) сплетенные биалгебры
Коассоциативность и коунитальность для A^ означают, что
AK)= E иі®иІ и ?Ы) = Sij-
1 jJfcjJiV
Условие (ii) теоремы 6.1 равносильно равенству нулю значения выражения
(c(vi ® «J-)) - (idA(c) ® с) (Д'у0у(«і ® Vj)) для всех г и j, другими словами, равенству нулю выражения
E с§« - E «Nie
для всех i,j,m и п. Отсюда очевидно, что отображение / из F в А', заданное формулой /(T/) = г^ для всех г и j, продолжается до гомоморфизма биалгебр, факторизующегося до отображения из А (с). Проверим соотношение Ay = (/(? idy)Ay. Для любого г мы имеем
(/ ® idy) (Ду (Ui)) = E f(Ti)®vj= E fSvj = A1v(Vi). l^j^N l^j^N
Обратно, равенство A^ = (/ ® idy)Ay необходимо влечет f(T-) = и\, что вместе с тем фактом, что семейство (Т-) порождает алгебру А(с), доказывает единственность отображения /. Это завершает доказательство теоремы 6.1.
Теорема 8.6.4. Предположим в дополнение к условиям теоремы 6.1, что оператор с на V <8> V является решением уравнения Янга-Бакстера. Тогда существует, и притом единственная, линейная функция г на А(с)<8> А(с), превращающая А(с) в косплетенную биалгебру, такая, что cvv = с. Мы имеем
г(TJn ® Г") = C1jIn (6.4)
для всех i,j,m и п.
Остальная часть этого параграфа посвящена доказательству теоремы 6.4. 8.6. Конструкция РТФ
241
(а) Предположим, что биалгебра А(с) косплетена относительно универсальной Д-формы г такой, что автоморфизм Crvv совпадает с данной Д-матрицей с. Из (5.9) и (6.3) мы имеем
c(vj ®Vl) = J2 r{T.T ® Tn)vm ® vn.
m,n
С другой стороны, мы имеем c(vj®vi) — Tm,n c?nvm®vn. Отсюда следует, что г (TJn ®Т") = Cjln для всех i,j,m,n. Соотношения (5.6), (5.7) влекут утверждение единственности из теоремы 6.4.
(б) Теперь мы докажем существование г. Сначала мы должны определить г на всем пространстве А(с) ® А(с). Пусть W — подпространство в алгебре Ft линейно порожденное семейством {T-}i^ij<:n. Мы определим отображение г: W®W —> к с помощью формулы (6.4). Условия (5.3) и
г(1®Т?) = г(Т?®1)=е(Т>) = 6г1
позволяют продолжить г до линейной функции на F ® F, также обозначаемой через г.
Для проверки того, что г определяет линейную функцию на пространстве А(с) (8 А(с), мы должны доказать следующую лемму.
Лемма 8.6.5. Мы имеем r(F ® 1(c)) = r(I(c) ® F) = 0.
Доказательство. Сначала заметим, что
г(1 ® 1(c)) = г(1(c) ® 1) = є(1(c)) = 0.
Используя условия (5.3), мы видим, что достаточно показать, что образы г(Tp ® С%п) и г(CiJn ® Tp) нулевые для всех i,j,m,n,p,q. Мы имеем
г(Т.р» ® C-") = E ® TfcwTi") - E г(Т$ ® TlkTj) CZn =
jt,i jk,/
k,l,s
- e г(тр ® т?) г(т* ® сг =
k,l,s
— V" rklrsnrqrn _ V^ ^si гЧк тпп ~ 2-,C4C'PCks / у iv is kl і
что равно нулю в силу уравнения Янга-Бакстера (1.1). ? 242
Глава 8. Уравнение Янга-Бакстера и (ко) сплетенные биалгебры
(в) Теперь, когда форма г определена, нужно проверить выполнение условий определения 5.1. Это будет сделано в несколько шагов.
1. Условия (iii) выполнены по определению г.
2. Условие (і): мы должны доказать, что элемент г обратим по отношению к свертке, то есть существует линейная функция г на А(с)®А(с), такая, что r*r = f*r = e. Зададим г на образующих T- формулой
Г(Т™ <8 ТП) = (с-1)7*™ И г(1®ТП=г(ТГ®1)=е(ТП=5гт,
где коэффициенты (C1)nJn определены в терминах обратного оператора с-1 соотношением
c-1^i ® vj) = y^icrlyijnvtn ® vn. т,п
Лемма 8.6.6. Приведенные выше формулы корректно задают линейную функцию г на А(с) <8 А(с) такую, что для всех x,y,z є А(с) мы имеем
г(ху <8 z) = Yj г (у ® z) f(x (8 z") (6.5)
W
U
f(x ® yz) = E f(x' (8 y) r(x" <8 z). (6.6)
(X)
Доказательство. Оно аналогично доказательству леммы 6.5. Нужно использовать тот факт, что с"1 также является решением уравнения Янга-Бакстера. ?
Теперь проверим выполнение соотношения (5.4). Индукцией по степеням элементов X vi у докажем, что
Y г(х' ® У') f(x" ® у") = є(х)є(У)- (6-7)
МЫ
Если X или у имеет степень 0, то это очевидно. Если и ж, и у имеют степень 1, то это получается последовательными вычислениями. Для X = TJn и у = Tn мы имеем
Y r(T[ ® Г/) f (Т™ ® Tn) = Y ^(С1)™ = ^rnSjn = е(ТГ)е(Тп).
PW PtQ 8.6. Конструкция РТФ
243
Второе равенство следует из того, что с 1 есть обратный к с оператор. Общий случай получается применением следующей леммы.
Лемма 8.6.7. Если соотношение (6.7) выполнено для всех пар (х\,у\), [xi,zi), (yi.-z і) таких, что deg ж і ^ degz, degyi ^ degy, degzi ^ degz, то оно выполняется также для пар (x,yz) и (xy,z).
