Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
= 0,
(7.3)
если г + j ф р + к. Мы также имеем индукционное соотношение
п т п + т — 2р і j + 1 k + 1
[j + 1]<7
— (n—2г)
+ И
[fc+1]
п т п + тп — 2р г j к
(7.4)
Доказательство. Оно проводится индукцией по к. Равенство (7.3) выполнено при к = 0 благодаря лемме 7.2. Полагая
(n+m—2р)
(П) Л* Jm)
"p-i+ki
мы получаем
Дп+m—2р) _ ру(п+т—2р) _
-!„,(") TrJm) _l_ TPn У1'
= J^a1 [K-\f ® Fv^\+k + Fv™ ® v?]+k) = 7.7. Квантовая формула Клебша-Гордана
203
= 5>(ь-»+*+і] я-[п-2Чп) ® + і
+[<+Ih^W-U =
= 2> (Ь> - і + ft +1] <г(п-и) + Hh(n) в vw+k+v і
Завершение доказательства не представляет труда. ?
Теперь мы докажем некоторые соотношения типа ортогональности для коэффициентов Клебша-Гордана, которые позволят нам выразить базис {v^ (2) V^ }ij через базис {v^+m~2p^}Pik- Снабдим Vn и Vm скалярным произведением ( , ), определенным в параграфе 6. Рассмотрим симметричную билинейную форму на Vn ® Vm, заданную формулой
(vi <g> V71, V2 <8> v'2) = (vi, v2)(v[, V12), (7.5)
где vi,V2 Є Vn и v[,v2 Є Vm.
Лемма 7.7.4. Симметричная билинейная форма (7.5) невырождена, и для нее базис ортогонален. Кроме того, для всех х Є Uq
и всех Wi, W2 Є Vn <8> Vm мы имеем
(xwi,w2) = (wi,T(x)w2).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Первые два утверждения очевидны. Докажем последнее. Если Wi = vi <8> v[, и W2 = V2 <8> V2, то, используя тот факт, что T есть автоморфизм коалгебр (см. предложение 6.1), мы имеем
(xwi,w2) = (Д(ж)(г>і О v[),v2 <g> v2) =
= Y2(X'Vl>V2)(X"v'l>v2) =
(X)
= Yj(VuT(X1)V2)(V^T(X11)V12) =
(X)
= Y2(V1 ,T(x)'v2)(v[,T(x)"v'2) = (T(x))
= (wi,T(x)w2). ? 204
Глава 7. Структура алгебры Хопфа на ?/g(s[(2))
Второй базис пространства Vn <8> Vm также ортогонален.
Предложение 7.7.5. (а) Базис {v|.n+m_2p) Wj^m1 o<fc^n+m-2p ортогонален.
(б) Зафиксируем целые p,s,k,l. Имеют место следующие соотношения ортогональности
У
если р ф s или к ф I, и
г(п—г—1)— j(m—j—1) n 771
г . j
X
п т п + т — 2р і j к
п т п + 771 — 2s і j I
»j
i(n—i—l)—j(m—j—l) п 771 n m n + m — 2р
І . і j к
_ q—k(n+m—2p—k—l)
п + т — 2р к
(в) Для данных і и j мы имеем
V] <8 Vs-
-i(n-i-l)-j(m-j-l) n m
і . j .
т п+т—2р X у^ у^ qk(n+m-2p-k-l)
р=0 fc=0
n 771 П + 771 — 2р-
і j к
п-\-т — 2р
к
(n+m-2p)
Доказательство, (а) Используя те же рассуждения, что и в доказательстве теоремы 6.2, можно показать, что
(v(n+m-2p))V(n+m-2p)j = 0>
если только к ф I. Разберем случай р ф q. Сначала покажем, что старшие векторы j/(n+m~2P) и гАп+т_2') ортогональны. Действительно, лемма 7.2 означает, что (v^n+m~2p\v^n+m~2q^) можно записать в виде
{v(n+m-2p)^n+m-2q)) = ? ^fjM ^(?) „Н) =
і J 7.7. Квантовая формула Клебша-Гордана
205
т. е. это скалярное произведение равно нулю, так как р — і ф q — і. Остается показать, что
(u(n+m-2P)^(n+m-2<?)) = ^
если к,1 > 0. Ввиду симметрии достаточно рассмотреть только случай к Js I. Мы имеем
{у(п+т-2Р) v(n+m-2q)j _ ^ ^рку(п+тп-2р) v(n+m-2q)^ _
= і (yt"+™-2?), ?kv(n+m-2q)^
для некоторых скаляров 7 и 7'. Далее, так как к ^ I1 вектор
k (n+m-2q)
ElcV
равен нулю или коллинеарен старшему вектору y(n+m
что сводит задачу к предыдущему случаю.
(б) Вычислим значение u|n+m 2^). Оно равно
E E
i+j=p+k r+s=q+l
п т п + 771 — 2р і j к
п т п + 771 — 2q г S I
X
E
i+j=p+k
п т п + т — 2р і j к
п т п + т — 2q г j I
, In) М-./ im.) (т)\
X {v\ >,v\ ')(v) \v) ') =
= E
i+j=p+k
i-l)-j(m-j -1) п m
і 3
n тп n + m
X I
і j
п ТП п + 771 — 2р і j к
С другой стороны, мы имеем
(v(n+m-2p)jW(n+m-2,)) = ^^n+m^p-k-l)
n + m — 2p к
(в) Мы имеем v\n) ® иИ = Ep=O TTktr2p ~ • Jn+m-2p)
ЪкЧ
для некото-
рых коэффициентов 7pfc. Следовательно,
/ (n+m-2p) (n+m—2р)ч , in) _ (т) (п+т-2р)ч
п m п + m — 2р і j к
206
Глава 7. Структура алгебры Хопфа на ?/g(s[(2))
Применяя формулу (6.2), мы получаем искомое явное выражение Для 7pfc • ?
Дальнейшие свойства квантовых коэффициентов Клебша-Гордана см. в [KR89], [КК89], [Vak89], где они выражены в терминах q-много-членов Гана, то есть некоторых ортогональных гипергеометрических g-рядов (см. также [GR90, гл.7]). Коэлинк-Корнвиндер и Ваксман показали, что соотношения ортогональности ^-многочленов Гана эквивалентны ортогональным соотношениям для квантовых коэффициентов Клебша-Гордана. Соответствующее свойство классических коэффициентов Клебша-Гордана было известно ранее (см. [Коо90]).
7.8. Упражнения
. 1. Вычислите значение S(E1FjKt) в Uq.
2. Пусть X — некоторый элемент алгебры Uq. Последовательно докажите, что
(а) элемент X является групповым тогда и только тогда, когда он имеет вид X = Kn;
(б) если А(х) = 1®х + х®К и є(х) = 0, то х есть линейная комбинация элементов E и KF;
(в) если А(х) = A"_1(8>x+2;(2)1, и є(х) = 0, то х является линейной комбинацией F и ЕК~1\
(г) если А(ж) = 1 <S> X + X <S> К-1, то х = 0.
3. Используя упражнение 2, покажите, что между алгебрами Хопфа Uq и UqI имеет место изоморфизм тогда и только тогда, когда q' = ig^1, и любой автоморфизм (р алгебры Хопфа Uq имеет вид
