Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
С(єі (Sei) = qeiS) єі,
/ ^ \ I rH ei ®ei, если і < j,
C(CiSej) = { 3 3 ш J>
Sjjiej S ei + (q-pq 1Jej ®ej, если г > j.
Предложение 8.1.4. Автоморфизм с является решением уравнения Янга-Бакстера. Кроме того, мы имеем
(с-qidv®v)(c+Pq-1Idvev) = О, или, что равносильно, с2 — (q — pq_1)c — pidv®v — 0.
Доказательство, (а) Сначала покажем, что с является й-матрицей. Для упрощения доказательства введем следующие обозначения. Символ (ijk) будет заменять вектор ег S e-j S е^, символ [г > j] — число 1, если і > j и 0 в противном случае. Тогда с можно записать следующим образом:
с(вг Sej) = Tjiej S Єі + [і > j]?et S e-j, 8.1. Уравнение Янга-Бакстера
217
где ? = q — pq 1. Прямое вычисление дает
(с <8> id)(id <8> с)(с <8> id)((ijk)) =
= rjirkirkj{kji) +TjiTkilj > k]?[jki) +
+ TkjTkili > j]?{kij) + TkjIi > j]li > k]?2(ikj) +
+ Tjidj > *][* > кї + Iі > j]\J > к))P2Uik) +
+ [TjiTijIi > k]? + Ii > j]lj > k]?3)(ijk)
и
(id ® с)(с <g id)(id <g c)((ijk)) =
= TjiTkirkj{kji ) + TjiTkiIj > k]?{jki) +
+ TkjTkili > j}?{kij) + Tjili > k]\j > k]?2{jik) + + rkj{li > k)lk > j} + Ii > j)lj > k})?2(ikj) + + [TjkTkjli > k)? + Ii > j)lj > k}?3)[ijk).
Мы должны доказать, что эти выражения равны для всех i,j,k. Это, очевидно, верно, если і = j = к. В случае всех различных i,j,k эти выражения совпадают ввиду равенств типа
[г > j][i >k] = li> j][j > к] + Ii > k)lk > j],
которые выражают тот факт, что мы имеем г > j и г > к тогда и только тогда, когда г > j > к или і > к > j. Если совпадают ровно два индекса, например г — j ф к, то требуемое равенство равносильно
соотношению T2i = ?ra + р, которое выполняется, поскольку Гц = q и ? = q — pq~l ¦
(б) Теперь применим оператор с2 — ?c — р к произвольному
вектору вида е, <g ej. Если і ф j, то мы немедленно получаем 0. Если і = j, то мы получим (q2 — ?q — p)[ei <g Єі), что равно нулю вследствие выбора значения ?. ?
Рассмотрим два специальных случая:
(i) Если р = q2 и Тц = q для всех i,j, то с является гомотетией.
(ii) Положим р = 1 и rij = 1 для і ф j. Тогда если пространство V двумерно, то с имеет такой же вид, как в случае 3 из примера 2. Таким образом, пример 2 оказывается частным случаем примера 3. 218 Глава 8. Уравнение Янга-Бакстера и (ко) сплетенные биалгебры
8.2. Сплетенные биалгебры
Цель этого параграфа состоит в определении понятия сплетенной биалгебры. Важность этого понятия объясняется доказанным в параграфе 3 этой главы фактом, что сплетенные биалгебры порождают решения уравнения Янга-Бакстера.
Определение 8.2.1. Пусть (Н, fj,, rj, Д, є) — некоторая биалгебра. Она называется квазикокоммутативной, если в алгебре H <8> H существует обратимый элемент R такой, что для всех х Є H мы имеем
Аор(х)= RA{x)R-\ (2.1)
Здесь Дор = тн,н ° А обозначает противоположное коумножение в Н. Элемент R, удовлетворяющий этому условию, называется универсальной R-матрицей. Она является частью структуры квазикокоммутативной биалгебры. Любая кокоммутативная биалгебра является квазикокоммутативной с универсальной Д-матрицей, равной R = 1 <g> 1. Таким образом, мы можем рассматривать квазикокоммутативные биалгебры как биалгебры, некокоммутативность которых контролируется универсальной Д-матрицей.
Если мы положим Д = J^i si ® ^t; то соотношение (2.1) выражается для всех X Є H формулой
Y XnSi <8> Xti = Y six> ® tix", (2.2)
(і),г (і),г
где использованы сигма-обозначения Свидлера, введенные в параграфе 3.1. Мы называем алгебру Хопфа квазикокоммутативной, если как биалгебра она обладает универсальной Д-матрицей.
Соглашение. Далее мы часто будем использовать следующее обозначение. Пусть H — некоторая алгебра, X = J^i ® ... <g> х^ Є Н®р (р > 1). Для любого набора (k\,... , кр) из р различных элементов множества {1,... , n} (n ^ р) мы обозначаем через Xkl...кр следующий элемент алгебры Н®п:
і 8.2. Сплетенные биалгебры
219
(к) (і1 (к) где у\ = х\ , если к = kj для j ^ р, и у\ = 1 в противном случае.
Например, если Д = Sj <g> U, то Дзі будет элементом алгебры Н®3,
равным
Язі = E Ьі ® 1 ® Si¦
г
Теперь мы введем основное понятие этого параграфа.
Определение 8.2.2. Квазикокоммутативная биалгебра (H,p,r/,A,?,R) или квазикокоммутативная алгебра Хопфа (Н, р,г/, А, є, S, S'1, R) с обратимым антиподом называются сплетенными, если универсальная Д-матрица R удовлетворяет следующим двум соотношениям:
(ASidH)(R) = Д13Д23 (2.3)
и
(idH ® A)(R) = R13R12. (2.4)
Сплетенные биалгебры играют ключевую роль в теории квантовых групп и Д-матриц. В литературе, в значительной степени в работах Дринфельда [Dri87], [Dri89a], где это понятие впервые появилось, сплетенные биалгебры называются квазитреугольными биалгебрами. Мы называем их сплетенными, поскольку категории модулей над ними являются сплетенными в смысле, который будет объяснен в главе 13.
Если R = Y^i si ® Ui то соотношения (2.3) и (2.4) можно выразить соответственно как
E (s^)' ® ®U = YlSi®si® tit^ (2-5)
i,(si) iJ
и
si ® (U)' ® (U)" = E sisi ® tJ ® U- (2.6)
