Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Tyy (v 1 О v2) = V2ISiVi
для vi, V2 Є V- Переставляющее отображение удовлетворяет уравнению Янга-Бакстера ввиду соотношения Кокстера
(12)(23)(12) = (23)(12)(23)
в симметрической группе Sz-
Ниже приведен способ получения новых Д-матриц из уже имеющихся.
Лемма 8.1.2. Если с Є Aut(F <S> V) — R-матрица, то R-матрицами будут также Xe, с~1 и Tyy ° сотуу, где А — произвольный ненулевой скаляр. 8.1. Уравнение Янга-Бакстера
213
Доказательство. Оно получается из соотношений
(Ac <8 idy) = А(с <8 idy), (idy (8 Ac) = A(idy <8 с),
(с-1 <8 idy) = (с (8> idy)-1, (idy <8 с-1) = (idy (8 с)-1,
(с' <8 idy) = ст (idy (8 с)ст-1, (idy <8 с') = ст(с (8 idy )ст-1,
где с' = ту,у осо TytVj а ст есть автоморфизм F <8 V (8 V, заданный формулой ст(иі (8 V2 <8 из) = (8 ,2 ® для Ui, иг, Vz EV. ?
Пример 2. Решим уравнение Янга-Бакстера в случае, когда V = V\ = = V\ti есть 2-мерный простой модуль над алгеброй Хопфа Uq = = Uq(sl(2)), рассматривавшейся в главах б, 7. Точнее, найдем все Uq-автоморфизмы модуля Vi (8 Fi, которые являются Д-матрицами. Мы используем обозначения из упомянутых глав. Напомним, что если Uo — старший вектор модуля Vi, то множество {uo,ui = Fuo} является базисом Vi- По теореме Клебша-Гордана 7.7.1 мы имеем Vi (8 Vi = V2 © Vo-Согласно лемме 7.7.2 векторы
wo = uo ® Vq и t = uo (8 ui — (7-1г>і (8 г>о
являются старшими с весами соответственно q2 и 1. Дополним пару линейно независимых векторов {tuo,?} до базиса в V (8 V, полагая
-і 1 2 W1 =z Fwo = Я г>о (8 Ui + Ui (8 ио и W2 = т^г F wo = V\ (8 Ui,
где [2] =zq + q~l.
Предложение 8.1.3. Любой Uq-линейный автоморфизм ц> пространства Vi (8 Vi диагонализуется и имеет вид <p(wi) = Xwi (і = 0,1,2), <p(t) = pt, где Xup — ненулевые константы. Автоморфизм <р является R-матрицей тогда и только тогда, когда
(А - p){qX + g-V)(g-1 A + qp) = 0.
Доказательство. Если отображение <р является С/^-линейным, то образ старшего вектора под действием <р является старшим вектором того же веса. Далее, векторы u>o и і имеют различные веса (мы по-прежнему предполагаем, что q2 ф 1); следовательно, существуют а и /і такие, что <p(wo) = Xwq и tp(t) — pt. 214
Глава 8. Уравнение Янга-Бакстера и (ко) сплетенные биалгебры
Для оставшихся базисных векторов мы имеем
4>(wi) - Ti V(plwO) = TiF%(p(w0) = Xwi,
W W
где і = 1,2. Это завершает доказательство первого из утверждений предложения 1.3.
Второе утверждение получается утомительным вычислением. Приведем некоторые его детали. Сначала заметим, что матрица Ф отображения ip в базисе {г>о <8> г>о, г>о <8> «і, г>і <8> г>о, г»і <8> v\} есть
/ А 0 0 0 \ О а 7 О О7/ЗО ' V 0 0 0 Л /
где
_ g~xA + др, _ дХ + д~хц _ X- р,
[2] ' H ' ^TT
В базисе, состоящем ИЗ элементов Vq®Vq®Vq, Vq®Vq®Vi, Vq®Vi®Vq, vq®vi®vi, v\ ®vq ®vq, vi<S>vo<S>vi, vi<S>vi<S>vo и v\ <8>г>і <8>г>і пространства V®V®V автоморфизмы <^<g)id и id<8)<^ могут быть записаны матрицами соответственно Ф12 и $23 размера 8x8, которые суть
0 \ о о о о о о
ч
о \
о о о
0 '
о о
ч
(Л 0 0 0 0 0 0
0 л 0 0 0 0 0
0 0 а 0 7 0 0
0 0 0 а 0 7 0
0 0 7 0 ? 0 0
0 0 0 7 0 ? 0
0 0 0 0 0 0 л
V0 0 0 0 0 0 0
(л 0 0 0 0 0 0
0 а 7 0 0 0 0
0 7 ? 0 0 0 0
0 0 0 л 0 0 0
0 0 0 0 л 0 0
0 0 0 0 0 а 7
0 0 0 0 0 7 ?
и 0 0 0 0 0 0 8.1. Уравнение Янга-Бакстера
215
Далее, имеем Ф12Ф23Ф12 - Ф23Ф12Ф23 =
(0 0 0 0 0 0 0
0 к —a?j 0 0 0 0 0
0 —a?j L 0 a/?7 0 0 0
0 0 0 -К 0 a/?7 0 0
0 0 a?7 0 M 0 0 0
0 0 0 a?7 0 -L —a?7 0
0 0 0 0 0 —a?7 -M 0
0 0 0 0 0 0 0J
где К = а((А - а)А - 72), L = a?(a - ?) ж M = ?(-y2 + X(? - А)). Предположим, мы доказали, что К, L, M кратны a?7. Тогда
Ф12Ф23Ф12 - Ф23Ф12Ф23 = a?l X Ф,
где Ф — некоторая ненулевая матрица. Отсюда следует, что Ф является Д-матрицей тогда и только тогда, когда a?7 = 0, что завершает доказательство предложения 1.3.
Остается показать, что К, L, M делятся на a?7. Простое вычисление дает:
X-a = qj, X — ? = g-17, ^-1A-7 = q~la, qX - j = q? ж ? — a = (q — q~1 )7. Следовательно,
K = aj(qX - 7) = qa?7, L = -(q- q-1) a/37 и M = /37(7 - g_1A) = -q~la?7. ?
В итоге получаем, что все Д-матрицы для {/,-модуля Vi <8> Vi принадлежат к следующим трем типам в зависимости от параметра А ф 0:
1. Если А = /Lt, то <р есть гомотетия.
2. Если qX + q~l? = 0, то
/ 9-1 0 0 0 >
0 q~l-q 1 0
0 1 0 0
V 0 0 0 Г1 J 216 Глава 8. Уравнение Янга-Бакстера и (ко) сплетенные биалгебры
3. Если q 1X + qp, = Q, то
Ф = q
(q 0 0
0 0 1 0
0 1 q - q-1 0
^ 0 0 0 q )
Очевидно, что случаи 2 и 3 переходят друг в друга при замене базиса и перемене местами q ш q~l. Как мы увидим в следующем примере, минимальный многочлен для Ф имеет степень ^ 2.
пример 3. Сейчас мы представим важный класс й-матриц с квадратичным минимальным многочленом. Такие Я-матрицы будут использованы в главе 12 для построения изотопических инвариантов зацеплений в R3.
Пусть V — конечномерное линейное пространство с базисом {ei,... ,едг}. Для произвольных обратимых скаляров p,q и произвольного семейства элементов поля к таких, что гц = q и rijrji = P Для 1 Ф Jj зададим автоморфизм с на базисе пространства V S V следующим образом:
