Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кассель К. -> "Квантовые группы" -> 72

Квантовые группы - Кассель К.

Кассель К. Квантовые группы — Фазис, 1999. — 698 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantoviegruppi1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 199 >> Следующая


(V)(W)

= E r((wH)'®(vh)')r((wH)" ®(vh)")vv®ww =

(v)(w)

= E ?(wH)Z(VH)VV ® ww =

(v)(w) = V ® W. 236 Глава 8. Уравнение Янга-Бакстера и (ко) сплетенные биалгебры

Второе равенство следует из коассоциативности !содействия, в то время как третье является следствием соотношения (5.1), и последнее вытекает из коунитальности кодействия. Аналогично можно показать, что Crvw является правым обратным к Crvw.

Теперь мы докажем из соотношения (5.2), что Cvw есть морфизм комодулей, то есть что

Avv®y ° CyiIY = (idff <8 Crv w) о Av®w-Это равносильно выполнению соотношения

УЧ r(wH <8 vh) (ww)h(vv)h <8 (ww)w <8 (vv)v =

(v)(w)

= Y r((ww)h <s> (vv)h) vhvjh <s> (ww)w <s> (vv)v

(v)(w)

для любых V є V и w є W. Далее, из коассоциативности кодействия это равенство может быть переписано так:

Y rhwh)' <S) (vh)') (wh)"(vh)" <S> vjw <8 vv =

(v)(w)

= Y (vh)'(wH)'r((wH)" <S (vh)") <S>ww<S> vv.

Cv)(w)

Последнее является следствием равенства г * /х = цор * г, которое эквивалентно соотношению (5.2) после применения свертки с г.

(б) Докажем, что Cru^vw = (cru w <S> idy)(id(7 <S> Crv w)- Мы имеем

(cCf1W ®idy)((id(7 <8cy)lv)(u<g>u<g)ti;)) =

- г(и>н <8 VH)r((ww)H <8 uh) (w\v)w <8 uu <S vv =

{u){v)(w)

= t((wh)' <8 vh) t((wh)" <8 uh) ww <8 ujj <S> vv =

(u)(v)(w)

— r(wff (8 UHVH) WW <S)Uu (Sivy =

(u)(v)(w) = cU®V,w(u<S V (S) w).

Второе равенство следует из коассоциативности, третье — из соотношения (5.7). Аналогично доказывается, что Ctuv^w = (idy ® ® cu,w)(cu,v ® idW)• 8.6. Конструкция РТФ

237

Последнее равенство в предложении 5.2 является следствием предыдущих соотношений и естественности отображений сг. Мы оставляем доказательство читателю. В параграфе 13.1 будет приведено доказательство в более общей ситуации. ?

8.6. Конструкция РТФ

Мы только что видели, что косплетенная биалгебра поставляет R-матрицу для каждого комодуля. Решетихин, Тахтаджян и Фаддеев показали в [RTF89], что, обратно, любая Д-матрица с в Aut(V <8 V) на конечномерном векторном пространстве V может быть получена как в параграфе 5 из некоторой косплетенной биалгебры А (с), кодействую-щей на V. Конструкция Решетихина-Тахтаджяна-Фаддеева (коротко, конструкция РТФ) основывается на следующей теореме.

Теорема 8.6.1. Пусть V — конечномерное векторное пространство, с — эндоморфизм пространства V (8 V. Существует биалгебра А(с) вместе с линейным отображением Ду : V —> А(с) (8 V такая, что

(i) отображение Ay задает на V структуру комодуля над А(с),

(ii) для этой структуры отображение с является морфизмом комодулей,

(iii) если А' — другая биалгебра, кодействующая на V с помощью линейного отображения A1v такого, что выполнено условие (И), то существует, и притом единственный, гомоморфизм биалгебр /: А(с) —> А' такой, что

A1v = (/ (8 idy) о Ay-Биалгебра А(с) единственна с точностью до изоморфизма.

Доказательство будет состоять из нескольких шагов.

1. На первом этапе мы определим А (с) как алгебру. Пусть — базис в пространстве V, и коэффициенты с™п определены равенством

c(vi <8 Vj) = Yt cijU vm ® Vn- 238 Глава 8. Уравнение Янга-Бакстера и (ко) сплетенные биалгебры

Возьмем семейство переменных T3 , где оба индекса і и j пробегают множество {1,... , N}.

Определение 8.6.2. Алгебра А(с) есть фактор-алгебра свободной алгебры F, порожденной семейством образующих по двустороннему идеалу 1(c), порожденному элементами С™п, где

CT= E ^7T7T1- E Ti TjCkin' (б-1)

IsCA:, I^N :,/<ЛГ

a i, j,m и п пробегают все множество индексов.

2. Зададим структуру биалгебры на А(с).

Лемма 8.6.3. На А(с) существует, и притом единственная, структура биалгебры такая, что

А(Т3) = E Ti®4 и ^3) = 6гу (6.2)

l^k^N

доказательство. Очевидно, что приведенные выше формулы определяют, и притом единственные, гомоморфизмы алгебр

Д : F F® F и є: F ^ к.

Чтобы доказать коассоциативность и коунитальность, достаточно проверить это для образующих T3, что легко делается по аналогии с параграфами 3.4 и 4.5. Мы должны также показать, что 1(c) является коидеалом, то есть что

А(1(с)) С I(c)®F + F®I(c) и е(/(с))=0.

Мы имеем

A(CT) = E J1jTpkT? ®Т™Т?- E 2fr;® TpkTffi =

k,l,p,q k,l,p,q

= E CiJ ® 7T7T + E 7^rKi ® T?Tq +

p>q k,l,p,q

+ E TfT] ® c™ - E TfT] ® CpqTJTT? =

p,q k,l,p,q

- E Ci! ® 7Tt-T + E TiJ1 ® cmn

p,q pa 8.6. Конструкция РТФ

239

и

С) = E cS ^7Trn - E eCtf2?) сГ =

= E cIj^kmhn - E oikojlCkP =

fc,Z к,I

— ^mn — rmn — п п

— Hj нj ~ u

3. Зададим теперь кодействие биалгебры А(с) на V. Определим линейное отображение Ay из V в A(c)®V на базисе {г>г}і^лг по формуле

М«<)= E Ti®vr (6-3)

Проверка того, что эта формула задает на V структуру левого комодуля над биалгеброй А (с), представляется простым упражнением.

4. Докажем, что оператор с на V<S)V является морфизмом комодулей для только что определенного кодействия. Кодействие Ay индуцирует на V <8 V кодействие А у® у, заданное формулой

Ay®y(uj О i>j) = E TiTj ®vk® vI-1

Поэтому с есть морфизм комодулей тогда и только тогда, когда значение разности
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed