Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
(V)(W)
= E r((wH)'®(vh)')r((wH)" ®(vh)")vv®ww =
(v)(w)
= E ?(wH)Z(VH)VV ® ww =
(v)(w) = V ® W.236 Глава 8. Уравнение Янга-Бакстера и (ко) сплетенные биалгебры
Второе равенство следует из коассоциативности !содействия, в то время как третье является следствием соотношения (5.1), и последнее вытекает из коунитальности кодействия. Аналогично можно показать, что Crvw является правым обратным к Crvw.
Теперь мы докажем из соотношения (5.2), что Cvw есть морфизм комодулей, то есть что
Avv®y ° CyiIY = (idff <8 Crv w) о Av®w-Это равносильно выполнению соотношения
УЧ r(wH <8 vh) (ww)h(vv)h <8 (ww)w <8 (vv)v =
(v)(w)
= Y r((ww)h <s> (vv)h) vhvjh <s> (ww)w <s> (vv)v
(v)(w)
для любых V є V и w є W. Далее, из коассоциативности кодействия это равенство может быть переписано так:
Y rhwh)' <S) (vh)') (wh)"(vh)" <S> vjw <8 vv =
(v)(w)
= Y (vh)'(wH)'r((wH)" <S (vh)") <S>ww<S> vv.
Cv)(w)
Последнее является следствием равенства г * /х = цор * г, которое эквивалентно соотношению (5.2) после применения свертки с г.
(б) Докажем, что Cru^vw = (cru w <S> idy)(id(7 <S> Crv w)- Мы имеем
(cCf1W ®idy)((id(7 <8cy)lv)(u<g>u<g)ti;)) =
- г(и>н <8 VH)r((ww)H <8 uh) (w\v)w <8 uu <S vv =
{u){v)(w)
= t((wh)' <8 vh) t((wh)" <8 uh) ww <8 ujj <S> vv =
(u)(v)(w)
— r(wff (8 UHVH) WW <S)Uu (Sivy =
(u)(v)(w) = cU®V,w(u<S V (S) w).
Второе равенство следует из коассоциативности, третье — из соотношения (5.7). Аналогично доказывается, что Ctuv^w = (idy ® ® cu,w)(cu,v ® idW)•8.6. Конструкция РТФ
237
Последнее равенство в предложении 5.2 является следствием предыдущих соотношений и естественности отображений сг. Мы оставляем доказательство читателю. В параграфе 13.1 будет приведено доказательство в более общей ситуации. ?
8.6. Конструкция РТФ
Мы только что видели, что косплетенная биалгебра поставляет R-матрицу для каждого комодуля. Решетихин, Тахтаджян и Фаддеев показали в [RTF89], что, обратно, любая Д-матрица с в Aut(V <8 V) на конечномерном векторном пространстве V может быть получена как в параграфе 5 из некоторой косплетенной биалгебры А (с), кодействую-щей на V. Конструкция Решетихина-Тахтаджяна-Фаддеева (коротко, конструкция РТФ) основывается на следующей теореме.
Теорема 8.6.1. Пусть V — конечномерное векторное пространство, с — эндоморфизм пространства V (8 V. Существует биалгебра А(с) вместе с линейным отображением Ду : V —> А(с) (8 V такая, что
(i) отображение Ay задает на V структуру комодуля над А(с),
(ii) для этой структуры отображение с является морфизмом комодулей,
(iii) если А' — другая биалгебра, кодействующая на V с помощью линейного отображения A1v такого, что выполнено условие (И), то существует, и притом единственный, гомоморфизм биалгебр /: А(с) —> А' такой, что
A1v = (/ (8 idy) о Ay-Биалгебра А(с) единственна с точностью до изоморфизма.
Доказательство будет состоять из нескольких шагов.
1. На первом этапе мы определим А (с) как алгебру. Пусть — базис в пространстве V, и коэффициенты с™п определены равенством
c(vi <8 Vj) = Yt cijU vm ® Vn-238 Глава 8. Уравнение Янга-Бакстера и (ко) сплетенные биалгебры
Возьмем семейство переменных T3 , где оба индекса і и j пробегают множество {1,... , N}.
Определение 8.6.2. Алгебра А(с) есть фактор-алгебра свободной алгебры F, порожденной семейством образующих по двустороннему идеалу 1(c), порожденному элементами С™п, где
CT= E ^7T7T1- E Ti TjCkin' (б-1)
IsCA:, I^N :,/<ЛГ
a i, j,m и п пробегают все множество индексов.
2. Зададим структуру биалгебры на А(с).
Лемма 8.6.3. На А(с) существует, и притом единственная, структура биалгебры такая, что
А(Т3) = E Ti®4 и ^3) = 6гу (6.2)
l^k^N
доказательство. Очевидно, что приведенные выше формулы определяют, и притом единственные, гомоморфизмы алгебр
Д : F F® F и є: F ^ к.
Чтобы доказать коассоциативность и коунитальность, достаточно проверить это для образующих T3, что легко делается по аналогии с параграфами 3.4 и 4.5. Мы должны также показать, что 1(c) является коидеалом, то есть что
А(1(с)) С I(c)®F + F®I(c) и е(/(с))=0.
Мы имеем
A(CT) = E J1jTpkT? ®Т™Т?- E 2fr;® TpkTffi =
k,l,p,q k,l,p,q
= E CiJ ® 7T7T + E 7^rKi ® T?Tq +
p>q k,l,p,q
+ E TfT] ® c™ - E TfT] ® CpqTJTT? =
p,q k,l,p,q
- E Ci! ® 7Tt-T + E TiJ1 ® cmn
p,q pa8.6. Конструкция РТФ
239
и
С) = E cS ^7Trn - E eCtf2?) сГ =
= E cIj^kmhn - E oikojlCkP =
fc,Z к,I
— ^mn — rmn — п п
— Hj нj ~ u
3. Зададим теперь кодействие биалгебры А(с) на V. Определим линейное отображение Ay из V в A(c)®V на базисе {г>г}і^лг по формуле
М«<)= E Ti®vr (6-3)
Проверка того, что эта формула задает на V структуру левого комодуля над биалгеброй А (с), представляется простым упражнением.
4. Докажем, что оператор с на V<S)V является морфизмом комодулей для только что определенного кодействия. Кодействие Ay индуцирует на V <8 V кодействие А у® у, заданное формулой
Ay®y(uj О i>j) = E TiTj ®vk® vI-1
Поэтому с есть морфизм комодулей тогда и только тогда, когда значение разности