Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
где R = Yli Si® tii а а — произвольная линейная функция на Н. Снабдим двойственное векторное пространство Н* канонической структурой алгебры и, если H конечномерна, канонической структурой коалгебры.
Предложение 8.2.5. Пусть (Н, fj,,rj, А, є, R) — сплетенная биалгебра. Тогда дА является гомоморфизмом, а Ад — антигомоморфизмом алгебр. Кроме того, если H конечномерна, то Ад есть гомоморфизм, a RА — антигомоморфизм коалгебр.
Доказательство. Сначала мы докажем, что дА является гомоморфизмом алгебр. Вычислим дА(є). Из (2.12) имеем дА(є) = Tieisi)ti — = 1, откуда видно, что дА отправляет единицу алгебры Н* в единицу алгебры Н. Далее, пусть а и ? — линейные функции на H. Тогда из формулы (2.3) или из ее эквивалентной записи (2.5) мы имеем
дА (a?) = U = ?(<* ® ?)(A(Si)) и =
і і
= J2 <*(*i)?(sj) Utj = fiA(a) R\(?). »j
Следовательно, дА сохраняет умножение. Подобным образом, используя (2.4), можно показать, что Ад является антигомоморфизмом алгебр.
Теперь предположим, что алгебра H конечномерна. Тогда двойственное векторное пространство Н* имеет структуру коалгебры. Ее коумножение А удовлетворяет соотношению
а(ху) = А(а)(х ® у) = ^ а'(х)а"(у).
(а) 224 Глава 8. Уравнение Янга-Бакстера и (ко) сплетенные биалгебры
Чтобы показать, что Ад является гомоморфизмом коалгебр, мы сначала должны проверить, что
А Ад = (Ад ® Ад)Д.
Но действительно, мы имеем
Д(Ад(а)) = J2&(si)a(ti) = (id ® а)(Д ® id)(Д); і
поэтому, применяя (2.5), мы получаем Д(Ад(а)) = ^li ¦ Oi(Utj) S1 ® Sj. С другой стороны,
(Ад ® Ад) Д(а) = J2 Л*(<*') ® Ы<*") =
(а)
= SiOC1(U) ® SjOc"(tj) =
id,(а)
= "Ya(tItj) Si ® Sj = id
= Л(Ад (а)).
Далее мы докажем, что Ад сохраняет коединицу. Используя (2.12), получаем
єАд(а) = e(]Tsia(ii)) = а^^Рфі)^) = а(1) = є(а). г і
Аналогично, с использованием (2.6), доказывается, что дА есть антигомоморфизм коалгебр. ?
8.3. Как сплетенная биалгебра порождает A-матрицы
Теперь мы докажем существование нетривиального решения уравнения Янга-Бакстера на произвольном модуле над сплетенной биалгеброй (Я,м,г?,Д,є,Д).
Пусть VhW — два Я-модуля. Универсальная Д-матрица Д в Я® Я позволяет построить естественный изоморфизм Я-модулей Cyw 8.3. Как сплетенная биалгебра порождает R-матрицы
225
из V <8 W в W <8 V. Этот изоморфизм обобщает отображение Tv1W перестановки сомножителей V и W и определяется для всех V Є V, W Є W формулой
cv,w(v lSiw) = tv,w(R(v <8> w)) = Е^го <8> siv, (3.1)
і
где R = Yh Si <8> ti. Из (2.13) получаем, что Cyw — изоморфизм, обратный к которому есть
(cvtw)'1 (w Sv) = R^(VSw) = YtS(si)v ® Uw = Ys^v ® s~l(U)w-
і і
(3.2)
Последнее равенство выполняется, только если H имеет обратимый антипод.
Предложение 8.3.1. В сделанных выше предположениях
(а) отображение Cyw есть изоморфизм Н-модулей и
(б) для любой тройки (U, V, W) Н-модулей мы имеем
cu®vtw = (cutw ® idy)(id[/ <8 еДиг), c§fV9W = (idy <8 c§w)(c§y <8 idw) и
(cvtw®idu)(idv®c§tW){c§y®idw) = [idw®Cutv)(cu,w®l&v)(\du®Cv,w)-
Доказательство, (а) Мы должны доказать, что отображение Cyw ії-линейно. Действительно, из (2.1) для любого X € H мы имеем
cv,w(x(v ®w)) = tv,w(RA(x)(v (8 w)) = = tvtw (Aop(x)R(v (8 го)) = = A(x)tv,w (R(v ® w)) = = x(c$iW(v®w)). 226
Глава 8. Уравнение Янга-Бакстера и (ко) сплетенные биалгебры
(б) Мы докажем только второе и последнее равенства, оставляя доказательство первого читателю. Применяя (2.6), мы получаем для ueU,v eV Viw eW:
(idy <8> Cu,w)i.cu,v ® idvv)(u ®v ®w) = ^ tiv <g> tjW <g> SjSiu =
i,j
= J^fo)'« ® ^i)"1" 18 SiU =
і
= E A(ti)(v <8> го) <8> SiU = і
Что касается последнего соотношения части (б) предложения 3.1, то мы имеем
(cVtW ® idc/)(idv ® c§,w)(cu,v ® idW)("<8> W <8> го) = ^ tktjW <g> SkUv <8>SjSiU
и
w<8>idy)(id[/<g>CyiW)(u<g>v<g>uj) = У^ tjtjw ® tkSj,v ® sksju.
Правые части обоих соотношений равны ввиду (2.11). ?
Полагая U = V = Wb части (б) предложения 3.1, мы получаем, что Cyv является решением уравнения Янга-Бакстера для любого модуля V. Этот эффективный метод построения Д-матриц объясняет, почему элемент Д называется универсальной Д-матрицей алгебры H. Заметим, что если Д = 1 <g> 1, то Cy ^ = TytW совпадает с переставляющим отображением. Мы уже отмечали в предложении 3.5.1, что переставляющее отображение есть изоморфизм ії-модулей для кокоммутативной алгебры H.
8.4. Квадрат антипода в сплетенной алгебре Хопфа
Как мы видели в теореме 3.3.4, антипод S кокоммутативной алгебры Хопфа является инволюцией: S2 = id#- В квазикокоммутативном случае S2, вообще говоря, не тождественен. Тем не менее в этом параграфе мы увидим, что он является внутренним автоморфизмом. 8.4. Квадрат антипода в сплетенной алгебре Хопфа
227
Пусть (H, р, r/, A,?,S,S 1, R) есть квазикокоммутативная алгебра Хопфа с обратимым антиподом. Рассмотрим элемент и Є Н, равный
u = YS(ti)si, (4.1)
і
где R = Y!isi® U- Положим Л-1 = Si ® й-
Предложение 8.4.1. В сделанных выше предположениях элемент и обратим в H, и обратный к нему равен
