Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
(р(Е) = аЕ, tP(F) = Q-1F, ip(K) = К,
где а — ненулевой скаляр. 7.9. Замечания
207
4. (Структуры *-алгебры Хопфа на Uq.) Мы используем понятия, введенные в параграфе 4.8.
(а) Докажите, что Uq является +-алгеброй Хопфа тогда и только тогда, когда либо q2 вещественно, либо q — комплексное число, по модулю равное 1.
(б) Проверьте, что следующие формулы задают пять структур +-алгебры Хопфа на Uq:
(i) Е* = E, F* =FnK* = K, если |9| = 1;
(ii) Е* = KF, F* = ЕК~1 и К* = К, если q вещественно и положительно;
(iii) Е* = -KF, F* = —ЕК~Х и К* = К, если q вещественно и отрицательно;
(iv) Е* = iKF, F* = гЕК-1 и К* = К, если q = Xi, где Л вещественно и положительно;
(v) Е* = -iKF, F* = -iEK-1 и К* =K, если q = Xi, где Л вещественно и отрицательно.
(в) Покажите, что любая структура *-алгебры Хопфа на Uq эквивалентна одной из указанных пяти. (Указание: используйте упражнение 2.)
5. Для данной структуры *-алгебры на Uq и Uq-модуля V назовем эрмитовым скалярным произведением положительно определенную эрмитову форму ( , ) такую, что (xv, v') = (v, x*v') для всех X E Uq и v,v' Є V. Найдите все эрмитовы скалярные произведения на простом модуле VztJl.
6. Докажите, что имеет место Dr9-линейный изоморфизм между простым модулем Ve n и модулем, двойственным к нему.
7.9. Замечания
Структура алгебры Хопфа на Uq(s\(2)) построена Скляниным [Skl85]. Алгебра Дринфельда-Джимбо Uq (д) также имеет структуру некоммутативной и некокоммутативной алгебры Хопфа. Для типов A,D,E, 208
Глава 7. Структура алгебры Хопфа на ?/g(s[(2))
рассмотренных в параграфе 6.7, эта структура задается на образующих (Ei, FuKl)I^1 формулами
A(Ei) = 1® Ei +Еі® Ki, A(Fi) = Kf1 ® Fi +Fi ® 1, A(Ki) = K^Ki, E(Ei) = E(Fi) = 0, E(Ki) = 1
и
S(Ei) = -EiKf1, S(Fi) = -KiFi, S(Ki) = Kr\
В этой главе вместо обозначений Дринфельда и Джимбо мы использовали соглашения из работы Такеучи [Так92с]. В специальном случае д = sl(2) эти соглашения позволяют определить действие алгебры Uq на квантовой плоскости из главы 4. Следуя Дринфельду [Dri87], Такеучи [Tak92b], [Tak92c] также доказал наличие отношения двойственности между алгеброй Хопфа J7?(s[(n)) и алгеброй Хопфа SLq(n), определенной в параграфе 4.10, вложив последнюю в ограниченно-двойственную алгебру Хопфа алгебры Uq(sl(n)).
Полупростота конечномерных Uq-MOдулей доказана Pocco [Ros88]. Мы почти буквально следовали его доказательству.
Дальнейшие подробности, связанные с квантовыми коэффициентами Клебша-Гордана, читатель найдет в [KR89], [КК89], [Коо90], [Vak89]. О структурах +-алгебры Хопфа на Uq (данных в упражнении 4) см. работу [MMN+90]. Часть II
Универсальные ?-матрицы Глава 8. Уравнение Янга-Бакстера и (ко)сплетенные биалгебры Глава 9. Квантовый дубль Дринфельда............. Глава 8
Уравнение Янга-Бакстера и (ко)сплетенные биалгебры
В центре внимания второй части книги знаменитое уравнение Янга-Бакстера, решения которого — так называемые A-матрицы. Мы вводим понятие сплетенной биалгебры, принадлежащее Дринфельду. Она представляет собой биалгебру с универсальной Д-матрицей и поставляет решение уравнение Янга-Бакстера для любого своего модуля. Это дает систематический метод построения решений уравнения Янга-Бакстера. Имеется также двойственное понятие — косплетенная биалгебра. Мы покажем, как построить косплетенную биалгебру по произвольному решению уравнения Янга-Бакстера методом Решетихина, Тахтаджяна и Фаддеева [RTF89]. Главу завершает доказательство того, что этим методом можно получить квантовые группы GLq(2) и SLqI2) из главы 4 и что они являются косплетенными.
8.1. Уравнение Янга-Бакстера
Определение 8.1.1. Пусть V — некоторое векторное пространство над полем к. Линейный автоморфизм с пространства ViSiV называется R-матрицей, если он удовлетворяет уравнению Янга-Бакстера
(с ® idy)(idy <g> с)(с ® idy) = (idy <g> с)(с ® idy)(idy <g> с),
которое рассматривается как соотношение в группе автоморфизмов пространства V ®V ®V.
Нахождение решений уравнения Янга-Бакстера представляет собой трудную задачу, как будет видно из примеров, приведенных ниже. 212 Глава 8. Уравнение Янга-Бакстера и (ко) сплетенные биалгебры
Пусть {vi}i — некоторый базис векторного пространства V. Автоморфизм с пространства V S> V задается набором скаляров определенных из равенства
фг ® Vj) = Y, cij Vk ® Vi. к,I
В этих обозначениях с является решением уравнения Янга-Бакстера тогда и только тогда, когда для всех i,j,k,l,m,n имеет место соотношение
Y (^8кг)(6рхсУгг)(с1хту52П)= Y (tiP^(cXp?rz)(6xlc™), p,q,r,x,y,z p,q,r,x,y,z
что равносильно выполнению соотношения
X/ tfj Cqk cPV = X/ С% С4 0W1 (1'1)
Р,Я,У У,Я,г
для всех i,j,k,l,m,n. Решение нелинейных уравнений (1.1) является крайне нетривиальной задачей. Тем не менее в 80-х годах были найдены многочисленные решения уравнения Янга-Бакстера. Перечислим некоторые примеры.
ПРИМЕР 1. Для любого векторного пространства V мы обозначаем через Tyy Є Aut(V® V) переставляющее отображение, меняющее местами две копии пространства V. Оно задается формулой
