Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 7.6.1. Существует, и притом единственный, антиавтоморфизм T алгебры Uq такой, что T(E) = KF, T(F) = EK"1 и T(K) = К. Антиавтоморфизм T является также гомоморфизмом коалгебр.
Доказательство оставляется читателю. ?
Согласно теореме 2.2 достаточно построить скалярное произведение на каждом простом {/,-модуле вида V6t7l. Это сделано в следующей теореме.
Теорема 7.6.2. На простом Uq-модуле Vei7l, порожденном старшим вектором V, существует, и притом единственное, скалярное произведение такое, что (v,v) = 1. Если определить векторы Vi для г ^ 0 по формуле Vi = щ F1V, то они будут попарно ортогональны и мы будем
Доказательство. Предположим сначала, что на Vgi7l существует скалярное произведение такое, что (v, v) = 1. Покажем, что (vi,vj) имеет
(XV,v') = (v,T(x)v').
(6.1)
иметь
(VuVi) = q-(n-i-l)i п 7.6. Скалярные произведения на Uq(sl(2))-модулях
199
тогда предписанный вид. Из определения векторов Vi, формулы (6.1) и предложения 6.1 мы имеем
(VUVj) = ^(FiVjVj) = ^(VjT(F)iVj) = р (V, (EK-lYvj).
Простая индукция по г показывает, что (ЕК~1)1 = ^1+1) К~гЕг для всех і > 0. Следовательно, вектор T(F)1Vj коллинеарен вектору E1Vjj который обнуляется как только і > j. Значит, (VijVj) = 0, если і > j. В силу симметрии мы также имеем (VijVj) = 0, если і < j. Чтобы вычислить (VijVi)j мы воспользуемся формулой
EiV = S1 ¦
-t^ vJ Є „•]I vJ-I-
[n~j]\
Имеем:
(VijVi) = ^+1HvjK-lEivi)
= ?у(Ш)'
П !
-(,,X-',) =
= Я
і(г+1)—пі
П І
(v,v).
Это доказывает единственность скалярного произведения. Докажем теперь его существование.
Очевидно, что существует невырожденная билинейная форма такая, что
(VijVj) =(7-("-'-1)'
п і
Sij.
(6.2)
Мы должны проверить, что она удовлетворяет соотношению (6.1). Так как T — антиавтоморфизм алгебры, достаточно проверить это для образующих X = Ej Fj К и К'1. Мы сделаем это лишь для X = Ej оставляя вычисления в других случаях читателю. С одной стороны, мы имеем
(EvijVj) = е[п - і + l](vi-i,vj) = eSi-xjq
-{n-i){i-1)
[n]!
[г — l]![n — г]! 200
Глава 7. Структура алгебры Хопфа на ?/g(s[(2))
С другой стороны, из (6.3.1)-(6.3.3) и (6.2)
fa, T(E)vj) = (vi, KFvj) =
= eqn-^+% + l](vi,Vj+l) = = b +1] №
[*]![n - і]!
єб- - .I0-In-iHi-V_—_= (Ev v) п
єдг,:+ід [і-!]![„-і]! VJ>- ?
7.7. Квантовая формула Клебша-Гордана
Теперь мы докажем квантовую формулу Клебша-Гордана для конечномерных простых Uq-модулей. Так как
Ve,п = K1O ® Fii7l = Fli7l ® F6iO, (7.1)
мы должны доказать ее только для модулей Fii7l, обозначаемых далее через F71.
Теорема 7.7.1. Пусть п Js т — два неотрицательных целых числа. Тогда имеет место изоморфизм Uq-модулей
Vn ® Vm = Vn+m ф V^+m_2 ф ... ф Vn-m.
Теорема 7.1 доказывается так же, как и предложение 5.5.1. Достаточно проверить, что модуль Fn ® Vrn содержит старший вектор веса дП+т—2р дЛЯ любого целого р в промежутке 0 ^ р ^ т.
Лемма 7.7.2. Пусть — старший вектор веса qn в модуле Vn, v(m) — старший вектор веса qm в Vm. Для всех р Js 0 положим 4") = ^ W") и 4m) = рг FPvW- Тогда
v(n+m-2p) = у^z1Ni [т - P + І]\[п - i]\ i(m_2p+i+1) v(n) v(m)
[m-p\\[n}\ г P г
есть старший вектор веса gn+m_2P в Vn ® Vm. 7.7. Квантовая формула Клебша-Гордана
201
Доказательство. Очевидно, что v-n^имеет вес qn 2г+т 2^p =
_ qn+m-2p Докажем, что Evi"+m~2P) = о. Напомним, что A(E) = = \®Е + Е®К. Отсюда следует, что
?v(n+m-2p) _
^ [m-p\\[n}\ г p г
> [та p + i]j[w i]l l(m_2p+i+1) („) =
^ ' [m-p]\[n}\ грі
і=О
v^, . ,,[m -р + Шп - і]\
= > (-1)1 [т-р + г + 1 p—Tj--, „ j x
tZ [т-р]\[п)\
V^/ „і г пі Im + iMr- -J-
+ > (—1) [n — г + 1]--Tj--, X
'ч ' L J Im. -TiIIIr
г=0
v n-i(m-2p+i+l)+(m-2p+2i) ,,(») ^ ,
"p-
[m — p]![n]!
x 9-г(т-2р+г+1)+(т-2р+2г) ^ у{™) _ -l)(m—2р+г)
i=0' V [m-p]![n]!
[m - p + г]![n - г + 1]! (i_lKm_2p+i)\ (n) (т)
= Y^--Hi"1 /^im +г1-[п ~ » + 1]! -(г-1 ^ 1} V [т-р]\[п}\ Я
[т — р]![п]!
= 0. ?
Это завершает доказательство теоремы 7.1. Мы хотим пойти на один шаг дальше и обратиться к следующей задаче. У нас есть в распоряжении два базиса в Vn <g> Vm разной природы: первый, приспособленный к структуре тензорного произведения, представляет собой семейство
второй — образованный векторами
(n+m-2p) _ _1_ Fk(n+m-2p)
k ~ [Jfc]! 202
Глава 7. Структура алгебры Хопфа на ?/g(s[(2))
где О^р^-тиО^к^п + тп — 2р, лучше приспособлен к структуре [/,-модуля. Сравнение этих базисов приводит нас к так называемым квантовым коэффициентам Клебша-Гордана
п т п + т — 2р г j к
определенным для ОО^тиО^Ні + т- 2р условием
(п+т—2р)
E
O^i^n, O^j^m
п т п + т — 2р і j к
(n) _ (ш) v\ '<S)Vj
(7.2)
Оставшаяся часть этого параграфа посвящена некоторым свойствам этих коэффициентов, называемых также квантовыми Ъ]-символами в физической литературе.
Лемма 7.7.3. Зафиксируем рик. Вектор v?+m 2p^ является линейной комбинацией векторов вида v^ Q Следовательно, мы имеем
п т п + т — 2р і j k
