Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кассель К. -> "Квантовые группы" -> 59

Квантовые группы - Кассель К.

Кассель К. Квантовые группы — Фазис, 1999. — 698 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantoviegruppi1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 199 >> Следующая


& / no &"

(я-Я-1)2 (q-q-1)2' 184

Глава 7. Структура алгебры Хопфа на ?/g(s[(2))

Мы должны показать, что последнее выражение не равно нулю. Если бы оно было нулевым, мы бы имели

д2п+2 - єє'дп+2 - єє'дп + 1 = 0,

или, что равносильно,

(,дп+2-єє')(дп-єє') = 0,

что противоречит нашим предположениям. ?

Теперь мы дадим квантовую версию теоремы 5.4.6.

Теорема 7.2.2. Если д не является корнем из единицы, любой конечномерный Uq-модуль полупрост.

Доказательство. Мы шаг за шагом будем следовать доказательству теоремы 5.4.6. Напомним, что достаточно доказать, что если V — конечномерный {/^-модуль, а V' — его подмодуль, то существует другой подмодуль V" такой, что модуль V изоморфен прямой сумме V' ф V".

1. Сначала докажем существование такого подмодуля V" в случае, когда V имеет коразмерность IbV. Будем использовать индукцию по размерности V'.

Если dim(F') = 0, можно взять V" = V. Если dim(F') = 1, то модули V и V/V' обязательно одномерны и просты с весами соответственно є і и е2. Если веса є і и Є2 различны, то существует базис {v\,V2} модуля V, в котором действие К диагонально. Так как Evi — собственный вектор для К с собственным значением Eig2 ф ±1, мы должны иметь Evі = 0 для і = 1,2. Аналогично, F действует на V тривиальным образом. Следовательно, V есть прямая сумма подмодулей V' = кг>і и V" = kv2.

В противном случае существует базис {г>і,г>2}, F' = кг>і, такой, что мы имеем Kvі = ev\ и Kv2 = EV2 + аг>і. Снова Evі есть собственный вектор для К с собственным значением Eg2 ф ?, а, значит, он нулевой. Докажем, что вектор Ev2 также равен нулю. Действительно, записав Ev2 = Awi + /хг>2, мы получим

E\vi+?(ev2 + atvi) = KEv2 = g2EKv2 = g2E(?V2 + avi) = eg2(Aui+

откуда /іє(<72 — 1) = 0 и Ae(q2 — 1) = p.a. Таким образом, A = ^ = O. Аналогичным путем можно доказать, что F действует на V тривиальным 7.2. Полупростота

185

образом. Так как [Е, F] действует тривиально, мы имеем К = К~1 на V. В частности, так как K~lv2 = ?V2 — ocv 1, мы имеем a = —а, а, значит, а = 0. В этом случае К также диагонализуется и мы приходим к тому же выводу, что и ранее.

Теперь предположим, что dim(V') = р > 1 и доказываемое утверждение уже верно для размерностей < р. Имеет место следующая альтернатива: модуль V либо прост, либо нет.

1а. Если модуль V' не простой, мы используем то же рассуждение, что и в части Ia доказательства теоремы 5.4.6.

16. Предположим, что V' — простой подмодуль размерности > 1. Одномерный фактор-модуль VfV' имеет вес є = ±1. Рассмотрим one--ратор С из леммы 2.1; он действует на VfV' тривиально. Следовательно, мы имеем CV CV'. С другой стороны, С действует на V' умножением на скаляр а ф 0. Отсюда получаем, что Cfa — тождественный оператор на V'. Следовательно, Cfa есть проектор из V на V'. Этот проектор [/,-линеен, так как элемент С центральный. Согласно предложению 1.1.2 подмодуль V" = Ker(С/а) удовлетворяет нашим требованиям.

2. Рассмотрим теперь общий случай. Нам даны конечномерные модули V'cV без каких-либо ограничений на коразмерность. Мы будем сводить эту ситуацию к случаю коразмерности 1, рассматривая векторные пространства W' С W, определенные следующим образом: W (соответственно W') есть подпространство всех линейных отображений из V в V', ограничение которых на V' является гомотетией (соответственно нулевое). Очевидно, что W' имеет коразмерность 1 в W-Чтобы свести к первой части доказательства, мы должны задать на W и W' структуры [/,-модулей. Снабдим Hom(V, V') структурой Uq-модуля, описанной в параграфе 3.5. Проверим, что W и W' — подмодули в Hom(V, V). Для / Є W пусть а — скаляр такой, что f(v) = av для всех V Є V; тогда для всех х Є Uq и v Є V мы имеем

(xf)(v) = Yx'f(s(x")v) = а(ХУ5(я"))г> =

(X) (X)

Схожее рассуждение доказывает, что W также является подмодулем. Применяя первую часть доказательства, находим одномерный подмодуль W" такой, что W = W'®W". Пусть / — образующая модуля W". По определению она действует на V как умножение на скаляр а Ф 0. 186

Глава 7. Структура алгебры Хопфа на ?/g(s[(2))

Отсюда следует, что f/а есть проектор из V на V' и V" = Кег(/) — дополнительное к V' подпространство. Для завершения доказательства остается проверить, что V" является [/^-подмодулем в V. Но действительно, так как W" — одномерный подмодуль, он является простым с весом ±1. Следовательно, для всех х Є Uq мы имеем xf = ±e(x)f. В частности, если v принадлежит V". мы имеем

K-1Z(Kv) = (K-1J)(V) = ±e(K~1)f(v) = О,

что влечет f(Kv) = 0. Это доказывает, что KV" С V". Аналогично, V" инвариантно относительно К-1. С другой стороны, мы имеем для вектора V, а значит, и Kv из V"

0 = ±e(E)Z(Kv) = (EZ)(Kv) = = Z(S(E)Kv)+EZ(K-lKv) = -Z(Ev)+Ef (v).

Следовательно, f(Ev) = 0. Это означает, что подпространство V" инвариантно относительно действия Е. Подобное вычисление дает: FV" С V"¦ Таким образом, V" является подмодулем. ?

7.3. Действие алгебры Uq(s 1(2)) на квантовой плоскости

Этот параграф является квантовой версией параграфа 5.6. Мы начнем с изложения некоторых общих фактов для косых дифференцирований алгебры А. Для а Є А обозначим через щ (соответственно через аТ) оператор левого (соответственно правого) умножения на элемент а. Если ст — автоморфизм алгебры А, то
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed