Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
7.1. Коумножение
Мы сохраняем обозначения из предыдущей главы. Положим
A(E) = IQE + EQK, A(F) = К'1 QF+ FQ 1, (1.1)
A(K) = KQK1 A(K^)=K-1QK'1, (1.2)
є(Е) = e(F) = 0, є(К) = е(К~х) = 1, (1.3)
и
S(E) = -EKS(F) = -KF, S(K) = К'1, S^'1) = К. (1.4)
Предложение 7.1.1. Соотношения (1.1)-(1.4) задают на алгебре Ug структуру алгебры Хопфа. 180
Глава 7. Структура алгебры Хопфа на ?/g(s[(2))
Доказательство, (а) Сначала покажем, что А определяет гомоморфизм из алгебры Uq в Uq ® Uq. Для этого достаточно проверить, что
Соотношения (1.5) очевидны. Для (1.6) мы имеем
A(K)A(E)AiK'1) = (К®К)(1®Е + Е® К)(К® К'1) =
Равенство (1.7) доказывается аналогично. Наконец, для (1.8) мы имеем
[A(F)1A(F)] = (1 ®F + F®К)(К~Х ®F + F® 1) -
- (K'1 ® F + F ® 1)(1 ® E + E ® К) =
= К-1 ® EF + F ® F + FX'1 ® KF + EF ® FT -
- F"-1 ® FF - FT-1F ® FF" - F ® F - FF ® FT = = К'1 ® [F, F] + [F, F] ® FT =
- ® (-K" - ^-1) + - JjT"1) ® к _
q-q'1
- A(JiT) -А(К-г)
?-9-1
(б) Далее, проверим, что коумножение А коассоциативно. Достаточно сделать это для четырех образующих. Мы проведем вычисление на примере Е. С одной стороны, мы имеем
A(F)A(FT_1) = A(FT_1)A(FT) = 1, A (FT)A (F)A (FT-1) = q2A(E), A(FT)A(F)A(FT_1) = q~2A(F),
(1.5) (1-6)
(1.7)
(1.8)
= 1 ® KEK-1 + KEK-1 ® FT = = q2 (1 ® F + F ® FT) = = Q2A(E).
(A® id) A (F) = (A®id)(l®F+F®FT) = l®l®F-f l®F®F-f E®K®K. 7.1. Коумножение
181
С другой стороны,
(id ®Д)Д(Я) = (id®A)(l®F+?;®X) = 1®1®Е+1®Е®К+Е®К®К,
что совпадает с предыдущим.
(в) Легко проверить, что є задает гомоморфизм из алгебры Uq в к и удовлетворяет аксиоме коединицы.
(г) Остается убедиться в том, что S задает антипод на Uq. Сначала нужно проверить, что S является гомоморфизмом из алгебры Uq в Uqp, то есть что выполняются следующие соотношения:
S(Ie1)S(K) = S(K)Stf-1) = 1, (1.9)
S(K^)S(E)S(K) = q2S(E), (1.10)
S(K^)S(F)S(K)=Q-2S(F), (1.11)
[S(F)lSm = siicI-s^- ^
q-q 1
Мы проведем вычисления для (1.10) и (1.12). Имеем
S(K^)S(E)S(K) = -K(EK^)K-1 = —q2EK~1 = q2S(E)
и
[S(F), S(E)] = KFEK-1 - EK-1KF = [F,E] =
_ K^-K _ S(K) - S(K-1) q-q-1 q-q
Для завершения доказательства того, что S — антипод, мы воспользуемся леммой 3.3.6. Согласно этой лемме остается проверить, что соотношения
= YLs^x" = ефі
(X) (X)
выполняются, когда х совпадает с любой из образующих Е, F, К, K~l. Эту проверку оставляем читателю. ?
Таким образом, мы построили алгебру Хопфа, которая не является ни коммутативной, ни кокоммутативной. Заметим также, что квадрат антипода не является тождественным отображением (если q2 ф 1). Однако он является внутренним автоморфизмом, что и отражено в следующем утверждении. 182
Глава 7. Структура алгебры Хопфа на ?/g(s[(2))
Предложение 7.1.2. Для любого и Є Uq мы имеем S2(U) = KuK
Доказательство. Действительно,
S2(E) = КЕК~1 = q2E, S2(F) = KFK'1 = q~2E
и S2(K) =K. ?
Таким образом, мы получаем, как и в главе 4, примеры алгебр Хопфа, антиподы которых имеют конечный порядок 2N для произвольного TV > 1; надо только взять примитивный корень 2N-ik степени из единицы за параметр q.
Алгебра Uq из параграфа 6.2 снабжается структурой алгебры Хопфа, которая сохраняется при изоморфизме <р: Uq —> Uq из предложения 6.2.1. В дополнение к соотношениям (1.1)-(1.4) надо лишь положить
A(L) = K~l ® L + L ® К, e(L) = 0, S(L) = -L. (1.13)
Легко видеть, что изоморфизм U(s\(2)) = U[/(K — 1) есть изоморфизм алгебр Хопфа. Другими словами, структура алгебры Хопфа на Uq переходит при q —» 1 в структуру алгебры Хопфа на обертывающей алгебре U(s 1(2)).
Мы завершаем этот параграф формулой для коумножения в Uq в базисе, построенном в предложении 6.1.4.
Предложение 7.1.3. Для всех i,j Є Z+ и І Є Z мы имеем і І
A(EiFjKt) = У^
г=о s=о
ж Е^гР8К1~й-з) ® ErFj-sKl^i-rI Доказательство. Сначала заметим, что
A(EiFjKt) = A(E)iA(F)jA(K)1 =
= (1 ®Е + Е® КУ(К~1 ®F + F® 1 )j (К1 ® К1).
Далее,
(Е ® K)(l ® Е) = q2 (1 ®Е)(Е® К)
x 7.2. Полупростота
183
(.К-l ® F)(F ® 1) = q2 (F ® 1)(^-1 ® F). Применяя соотношение (6.1.9), получаем
A(F)2' = ХУ(і~г)
г=0
Ег~г ® ЕгКг~т
и
A (Fy=Yq
s(j-s)
S=О
psK-U-s) Q pj-S_
Доказательство завершается применением соотношения (6.1.11). ?
7.2. Полупростота
В этом параграфе мы докажем, что любой конечномерный Uq-модуль является прямой суммой простых [/,-модулей, если q не является корнем из единицы, что мы и предполагаем до конца этой главы. Начнем с технической леммы о простых модулях Ve^n из параграфа 6.3.
Лемма 7.2.1. Существует элемент С, лежащий в центре алгебры Uq, действующий умножением на 0 на модуле Vefi и на ненулевую константу — на модуле VeI п, где п — некоторое натуральное число, а є,є' = ±.
Доказательство. Положим
C = Ca-e,q + q~l
где Cq — центральный элемент, введенный в параграфе 6.4. Согласно формуле (6.4.3) С действует на Vefi умножением на
я+ я'1 _ q + q~l _ п (<7-T1)2 Чя-q-1)2 ' а на VeIi7l — умножением на
ygw+i +g-(w+l) q + q'1
