Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
ф(а) = А, ф(Ь) = В, ф(с) = С, 4(d) = D.
Предложение 7.4.2. Билинейная форма (и,х) — ф(х)(и) реализует двойственность между биалгебрами Uq и Mq(2).
Доказательство. Так как коумножение и коединица в Mq(2) такие же, как и в М(2), доказательство использует те же рассуждения, что и в доказательстве предложения 5.7.3. ?
Двойственность между Mq(2) и Uq не совершенна, так же как и в классическом случае.
Лемма 7.4.3. Для квантового детерминанта det9 = da — qbc как элемента алгебры Mq(2) мы имеем ip(detq) = 1. 7.4. Двойственность между алгебрами Хопфа Uq(sl(2)) и SLq(2) 195
Другими словами, (и, det9) = є (и) для всех и Є Uq.
Доказательство. По теореме 4.5.1 элемент det9 является групповым, то есть A(det?) = det9 (g>det9. Получаем, что отображение и (и, det9) есть гомоморфизм алгебры Uq в к. Чтобы доказать его совпадение с є, достаточно проверить, что оба отображения имеют одинаковые значения на образующих Е, F, К и К'1. Используя (5.7.2), (5.7.3) и (1.1), мы получаем для элемента Е:
(.E, det9) = (Е, da) - q (E, bc) =
= e(d) (E, a) + (Е, d) (К, а) - qe{b) (E, с) - q (E, Ь) (К, с) = = 0 = є(Е).
Для К мы имеем
(К, det9) = (К, da) - q (К, be) =
= (K,d)(K,a)-q(K,b)(K,c) = = q~lq = l =є(К).
Аналогичные вычисления можно проделать и для F и К'1. ?
Как следствие леммы 4.3 получаем, что гомоморфизм ф из алгебры Mq(2) в U* факторизуется до отображения из SLq(2) = Mq(2)/(det9 — 1). Мы будем обозначать также через ф индуцированный гомоморфизм из алгебры SLq(2) в U*, а через ( , ) — соответствующую билинейную форму.
Теорема 7.4.4. Билинейная форма (и,х) = ф(х)(и) реализует двойственность между алгебрами Хопфа Uq и SLq(2).
Доказательство. Мы можем использовать те же рассуждения, что и в доказательстве теоремы 5.7.6. Единственное различие касается антиподов. Сначала проверим соотношение (5.7.5) для образующих. Используя компактную матричную запись, получаем
(gW- (сі))- - -'(ВД^1) - ( 0 "о" ) =
-('¦(Л ?)>-<*($ Sffi)>¦ 196
Глава 7. Структура алгебры Хопфа на ?/g(s[(2))
Для F мы имеем
(5^' ( с a ) ) = 'М*» = -MM = ( _°д-г J ) =
_/ ( d -qb\\_l ( S(a) S(b) \\ V' {-q-'c a )/-Yi Ik 5(c) S(d) )/¦
Аналогично доказывается для К и K~l. Для завершения доказательства нужно применить лемму 5.7.7. ?
7.5. Двойственность между модулями над Uq(sl(2)) и комо дулями над SLq( 2)
Точно так же, как и в классическом случае, рассмотренном в параграфе 5.7, существует двойственность между [/,-модулями и SLq(2)-ко-модулями. Мы видели в параграфе 4.7, что векторное пространство к,[ж, у}п однородных элементов степени п квантовой плоскости имеет естественную структуру 5?,(2)-комодуля. По двойственности дуальное векторное пространство к,[ж, у]* имеет структуру модуля над алгеброй SLq(2)*, а значит, и над алгеброй Uq благодаря гомоморфизму (р\ Uq -» SLq(2)*. Следующее утверждение описывает структуру к9[ж,у]* как Uq-модуля.
Теорема 7.5.1. Uq-модуль к,[ж, у]* изоморфен простому модулю Fi)Tl со старшим весом qn.
Таким образом, 5?,(2)-комодуль kq[x, у]п соответствует по двойственности Uq-модулю Fii7l.
Доказательство. Мы покажем, что линейная функция на kq[x,y]n, заданная формулой
HxiVn-') = Sni,
является старшим вектором веса qn для Uq-модуля kq[x, у]*, т. е. у]* содержит подмодуль, изоморфный простому модулю Fii71. Так как
dim(Fi>n) = п + 1 = dim(k?[:r, у]*),
мы получаем к?[ж,у]* = Fii7l. 7.5. Двойственность модулей над Uq(sl(2)) и комодулей над SLq(2) 197
Для доказательства, что / является старшим вектором, нам нужно, чтобы для всех U E Uq Vl всех і таких, что 0 ^ і ^ п, выполнялось соотношение
Ы)(х*уп-') = (ща*<ГЛ (5-1)
Но это равенство верно: используя определение вектора /, пример 2 из параграфа 3.6, лемму 4.7.2 и обозначение
Cr., = q^s
г \ ( п —
Jr,s -Q'
tj о \ s /о
q* \ /q*
для упрощения формул, мы имеем
Ы)(х'уп~') = (<р(и)/)(хГ) =
= (<р(и) ® /)(Дл(^уп-')) =
г п—г
= EE аТЬ'~Тcs Jn-^s) f(xr+syn~r~s) =
r=0 S=O г n—i
= EE c^ агь'~г Cs сг-^) 6nir+s =
r=0 S=O г п—г
= EE cf^ аГV-rWi-') =
r=0 S=O = (и, CLiCn'*).
Применим соотношение (5.1) к К. Прямое вычисление дает
(KyUiC?) = (К,аУ (К, с)? = SjOqi.
Следовательно, мы имеем (Kf)(xlyn-1) = ^ni Я1 — ^niQ71-) то єсть Kf = qnf.
Остается доказать, что Ef = 0. Это равенство есть следствие соотношения (5.1), примененного к Е, и того факта, что (Е,агс>) = 0 для всех г и j. Докажем последнее. Во-первых, мы имеем (Е, 1) = є(Е) = 0. Далее, если і > 0, то из (5.7.2), (5.7.3) следует
(Е,а*) = є(а) (EjGi-1) + (Е,а) (K^ai'1) = = (Е,аі~1) = ... = (Е,а)= 0. 198
Глава 7. Структура алгебры Хопфа на ?/g(s[(2))
Следовательно,
(EyGiCi) = є(аУ (Е,с>) + (E1Gi) (К,с>) = 0.
?
7.6. Скалярные произведения на С/9(5І(2))-модулях
В этом параграфе мы на каждом конечномерном Uq-модуле V построим скалярное произведение, то есть невырожденную билинейную форму ( , ) на V®V такую, что для всех х E Uqnv,v' EV и антиавтоморфизма T алгебры Uq имеет место равенство
Антиавтоморфизм T алгебры Uq определяется следующим образом.
