Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
191
а оператор Vr^ — (<rz 1Cry, id)-дифференцированием, что влечет соотношения (3.10), (3.11).
(б) Мы имеем Exn = 0, Kxn = дпжп и
— Fp(xn) =_—_xn~pvp
Следовательно, хп есть старший вектор веса qn, который порождает подмодуль kq[x,y]n. ?
Заметим, что [E, F] действует на квантовой плоскости как оператор
до до
Xtay- -^a1-.
Его «предел при q, стремящемся к 1», — это оператор хд/дх — уд/ду, который соответствует действию элемента H алгебры si(2) на аффинной плоскости (см. теорему 5.6.4).
7.4. Двойственность между алгебрами Хопфа [/,(5((2)) и SLq(2)
Теперь мы установим связь этой главы с главой 4, показав, что Uq двойственна алгебре Хопфа SLq(2), определенной в параграфе 4.6. Мы будем использовать понятие двойственности, введенное в параграфе 5.7.
Как и в параграфе 5.7, наша первая задача будет состоять в построении гомоморфизма ip из алгебры Mq(2) (определенной в параграфе 4.3) в двойственную алгебру U*. Мы получим билинейную форму на Uq X Mq(2), заданную равенством {и, х) = ф(х)(и) и удовлетворяющую соотношениям (5.7.2) и (5.7.4). Задание гомоморфизма ф эквивалентно выбору четырех элементов А, В, С, D в Uq, удовлетворяющих шести соотношениям, определяющим Mq(2) (см. параграф 4.3).
Определение элементов А, В, С, D использует простой Uq-модуль ViiI со старшим весом q и базисом {г>о,г>і}. Матричное представление образующих Е, F и К в этом базисе было дано в параграфе 6.3. Полагая P = рід, мы имеем
**>-($¦;)• **>-(?!!)¦ "Mo /-)• <«> 192
Глава 7. Структура алгебры Хопфа на ?/g(s[(2))
Вообще, для произвольного элемента и EUq положим
(4.2)
Мы получаем, таким образом, четыре линейных функции на Uq, а значит, четыре элемента А, В, С, D из Uq.
Лемма 7.4.1. Четверка (А, В, С, D) является Uq-точкой алгебры
Доказательство. Это доказывается прямой, трудоемкой проверкой. Сначала нужно вычислить в алгебре Uq все двенадцать попарных произведений AB, BA, АС, CA, ... различных элементов из множества {А, В, С, D). Напомним, что произведение любых двух элементов х,у Є Uq задается формулой
Достаточно посчитать значение (ху)(и) для базиса [E1FjK1] алгебры Uq. Положим и = EiFjK1. Если і > 2 или j > 2, то из предложения 1.3 видно, что в сумме Yl(и) и'®и" либо и', либо и" содержит E или F в степени > 1. Далее, согласно (4.1) элемент p(ElFjKl) = р(Е)х p(F)J р(К)1 обращается в нуль, если і > 1 или j > 1. Следовательно, если х,у € {А, В, С, D], то мы имеем
в каждом из случаев і > 2 и j > 2. Поэтому остается только найти значения наших произведений на элементах E1F^Kt, где 0 ^ і ^ 2 и
О ^ j ^ 2.
(і) Если и = К1, то мы имеем A(Kl) = K1 ® К1, и значения всех произведений на и равны нулю, кроме
(ii) Если и = FK1, то A(FKt) = К1'1 ® FK1 + FK1 ® К1, и на и все произведения обнуляются, кроме
(СА)(и) = q (АС)(и) = q2t и (DC)(u) = q (CD)(u) = q. (4.5)
Mq( 2).
(4.3)
(U)
(Xy)(EiFjKt) = 0
(AD) (u) = (DA)(u) = 1.
(4.4) 7.4. Двойственность между алгебрами Хопфа Uq(sl(2)) и SLq(2) 193
(iii) Если и = F2K1, то
A(F2Kt) = а\ FK1-1 <8> FK1 + (члены, содержащие F в степени > 1),
и значение всех произведений обнуляется на и.
(iv) Если и = EK1, то A{EKl) = EK1 ® Kt+1 + K1 <g> EK1, и на и обнуляются все произведения, кроме
(.ВА)(и) = q (АВ)(и) = q и (DB)(u) = q (BD)(u) = q'21. (4.6)
(v) Если и = FFifi, то
A(EFKt) = K1-1Q EFK1 + EFK1 Q Kt+1 +
+ FK1 Q EK1 + q~2 EKl~1 Q FKl+1,
и значения всех произведений на и равны нулю, за исключением
(ВС)(и) = (СВ)(и) = 1, (DA)(u) =q, и (AD)(u) =q-\ (4.7)
(vi) Если и = EF2K1, то
A(EF2Kt) = а2 (FKt'1 Q EFKt + q^EFK1"1 Q FKt+1) +
+ (члены, содержащие F в степени > 1),
все произведения обнуляются на и, кроме
(СА)(и) =q(AC)(u) =Ct2q21-1. (4.8)
(vii) Если и = E2Kt, то
A(E2Kt) = а3 EK1 Q EKl+1 + (члены, содержащие F в степени > 1),
и значения всех произведений на и нулевые.
(viii) Если и = E2FKt, то
A(E2FKt) = а4 (EFKt Q EKt+1 + q~2EKl~l Q EFKl+1) +
+ (члены, содержащие E в степени >1),
и значения всех произведений на и обнуляются, за исключением
(ВА)(и) = q (АВ)(и) = а4. (4.9) 194
Глава 7. Структура алгебры Хопфа на ?/g(s[(2))
(ix) Если и = E2F2K1, то
A[E2F2K1) = аъ EFK1-1 ® EFKl+1 +
+ (члены, содержащие EhFb степени >1),
значения всех произведений равны нулю на и.
В случаях (iii) и (vi)-(ix) мы обозначили через оц, а2, аз, «4 и аь константы, которые могут быть выписаны явно, но для наших целей это неважно. Из этих последовательных вычислений нетрудно проверить, что А, В, С, D удовлетворяют шести соотношениям, определяющим Mq (2). Как пример такого вычисления мы проверим наиболее часто используемое соотношение, а именно
DA-AD = (q-q-1) ВС.
Согласно предыдущим замечаниям мы видим, что достаточно осуществить проверку для и = К1, что тривиально, и для и = EFK1. В последнем случае из формул (4.7) вытекает, что
(DA - AD)(и) = q-q-1 = {q- q-^BC^u). ?
Как следствие леммы 4.1 и сказанного в параграфе 4.3 получаем, что существует, и притом единственный, гомоморфизм яр из алгебры Mq (2) в U* такой, что
