Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
Причину этого иллюстрирует рис. 5. Здесь мы имеем электромагнитный пропагатор GtAiB, связывающий точки А и B1 расположенные соответственно на мировых линиях частиц а и Ь. Предположим, что мы осуществляем вариацию пространственно-временной метрики компактной области Т. Поскольку пропагатор есть глобальное свойство пространственно-временной структуры, то он будет изменяться вследствие этого изменения в структуре T. Поэтому изменение GiAiB можно выразить в расчетах первого порядка в виде объемного интеграла по У°.
В электромагнитном случае ответ может быть представлен в следующем виде:
Рис. 5. Пропагатор G (индексы опущены) заменяется на поскольку пространство-время в T обладает измененной геометрией: gin gtk+bgtk-
6 ZS4lt И е“еЬ°‘А‘В da‘A db‘B '¦
a<b
^[TiH8iA-8)'иЛ*х, (5.1)
где
r«-=_L_ V { -L рікр(а)тпр(Ь) p(a) і p(b) kl _
8я Z-/ I 2 6 зап mn опер / зап опер
а<Ь
(5-2)
Подробности этого вывода приведены в работе [31].
Между прочим, интересно отметить, что этот вывод разрешает двузначность в отношении тензоров энергии-импульса в электродинамике прямого взаимодействия частиц. Уилер и Фейн-
10. Инерция и космология в теории относительности
517
ман [41] рассмотрели два тензора для этой теории. Одним из них был канонический тензор, заданный согласно (5.2), а другим — тензор Френкеля
Tlk = ^ Ш -L gikf(a) mnf(b) p(a)ilp{b)k^ p(b) ilp(a) ft j # (5.3)
а Ф b
Под F^n и т. д. мы понимаем здесь симметричное во времени (полуопережающее + полузапаздывающее) поле прямого взаимодействия частиц, определяемое формулой (3.4). Очевидно, что оба тензора (5.2) и (5.3) симметричны во времени и оба приводят к одним и тем же электродинамическим силам, если взять их дивергенцию. Уилер и Фейнман заключили:
«С точки зрения чистой электродинамики невозможно сделать выбор между обоими тензорами. Различие, разумеется, имеет значение для общей теории относительности, где энергия обладает ассоциированной с ней гравитационной массой. До сих пор мы не пытались сделать выбор между этими возможностями на основе такого более глубокого подхода».
Как упоминалось выше, обычная процедура вариации метрики однозначно представляет канонический тензор. То обстоятельство, что мы можем получить нетривиальное решение вариационной задачи и что это разрешает давнюю двузначность, укрепляет нашу уверенность в том, что мы движемся к теории гравитации по правильному пути.
Рассмотрим теперь вариацию первого члена в (4.6): gik-> gik + Sgik- Мы будем пренебрегать вторым членом и сосредоточим внимание только на гравитации. Кроме того, для простоты положим вначале Ka = 1 для всех а. Позднее мы вернемся к различным константам связи.
Этот метод аналогичен принятому для электромагнетизма. Мы рассчитываем изменение пропагатора G(AtB) как геометрические изменения в любой компактной области Т. Подробности этого несколько длинного вычисления даны в работе [26]. Мы просто приведем результат. Оказывается, что уравнения поля имеют вид
уф (Rik — = — Tik + -g-{gife ? ф — ф; ik} +
+ j [m'f п)/п(°пер) + m(!an)m(°nep> — gikml <3an>m(onep)j > (5 4)
где ? — ковариантный волновой оператор,
171 (X) = Y \ G(X, A) da, Itii = дт/дх\ (5.5)
а
Ф (X) = т(зап) (X) т(опеР) (X), (5.6)
17 Зак. 203
518
Дж. В. Нар/іикар
а т(зап> и т(опеР> обозначают удвоенные запаздывающие и опережающие части т(Х) соответственно. Тензор энергии-импульса Tik есть известный тензор энергии-импульса для системы частиц а, 6, ... с массами та, тъ, ... согласно предписаниям Маха (4.4) и (4.5). Отметим, что эти массы симметричны во времени. Функция т(Х) удовлетворяет конформно-инвариантному волновому уравнению
? m + jRm = N, (5.7)
где
N(X) = ? W*, Л) 1-ё(Х. А)]~'Ыа (5.8)
а
есть инвариантная плотность числа частиц.
Для определения И неизвестных gik и т имеется 10 уравнений (5.4) и одно уравнение (5.7). Однако дивергенция и след от уравнения (5.4) тождественно равны нулю, вследствие чего число независимых уравнений фактически уменьшается на пять. Это едва ли может вызвать удивление, поскольку четыре из этих пяти уравнений являются следствиями общей координатной инвариантности (как в общей теории относительности), тогда как пятое тождество (обращение в нуль следа) является следствием конформной инвариантности. Легко доказать, что если {?/*, m) есть решение этих уравнений, то решением для произвольной достаточно регулярной (т. е. типа С2) неисчезающей конечной функции Q будет (Q2^ft, Q-1An). Эта произвольная функция есть не что иное, как выражение произвольности зависящих от массы единиц, обсуждавшихся в разд. 2. Предположим теперь, что можно выбрать Q так, что
/Ht8ai0Q"1 =/и0, Щ = const. (5.9)
Положим также, что отклик Вселенной таков, что все опережающие компоненты уничтожаются, а запаздывающие — удваиваются, так что функция эффективной і зссы имеет вид
m + у т<зап) — J /п(опер) = т(зап). (5.10)
Ниже мы обсудим это условие и его следствия. Теперь уравнения поля упрощаются:
Rtk- T SikR=- ^Tlk, X = 6/т20. (5.11)
