Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
Предположим, что в одной из пространственно-временных точек Р(х1) мы построили линейный элемент
ds2 = gik (P) dxl dxk. (2.11)
Мы не можем придать |ds| абсолютный смысл в точке Р, поскольку не можем быть уверены в абсолютном значении нашей основной единицы. Однако мы без труда можем сравнивать длины по различным направлениям в точке Р. Таким путем мы
определяем отношения величин gik (P), а не их абсолютные
значения. Следовательно, вместо (2.11) мы получим
ds2 = Q2 (P) gik (P) dx‘ dxk (2.12)
без изменения этих отношений, причем Q(P)t^0. Вследствие этого более рациональной представляется такая формулировка физической теории, которая зависит только от отношений, а не от абсолютных значений метрического тензора. Такая теория называется конформно-инвариантной.
Другими словами, конформно-инвариантная теория не меняет своей структуры, если метрика пространства-времени
506
Дж. В. Нардикар
претерпевает конформное преобразование:
gik-*®2gik = gik, 0 < Q < оо, (2.13)
где Q — произвольная (с надлежащей регулярностью) функция пространственно-временных координат.
Максвелловские уравнения поля конформно-инвариантны, а общая теория относительности не является таковой. Постоянство массы и абсолютный характер линейного элемента (2.11) в этой теории находятся, следовательно, в противоречии с принципом Маха.
На первый взгляд данный конфликт представляется непреодолимым, откуда следует, что сближение между общей теорией относительности и принципом Маха невозможно. В последующих разделах мы обсудим, каким образом на основании идей Маха (с соответствующими модификациями) можно построить теорию гравитации, которая приводила бы к общей теории от* носительности, применимой для наиболее практически важных целей. Подход к такой теории осуществляется через дальнодействие, которое мы вначале опишем на примере электромагнитной теории.
3. Теория излучения с поглотителем
В письме к Веберу 19 марта 1845 г. Гаусс писал:
«Я бы, без сомнения, давно опубликовал результаты моих исследований, если бы в то время не забросил их, поскольку мне не удалось найти то, что я считал краеугольным камнем: Nil actum reputans si quid superesset agendum*), а именно вывод добавочных сил — дополняющих взаимодействие покоящихся электрических зарядов, когда они оба находятся в движении,— из действия, которое распространяется не мгновенно, но с течением времени, как в случае света».
Попытки Гаусса были предприняты примерно за тридцать лет до создания максвелловской теории поля и за шесть десятилетий до появления специальной теории относительности. Успех этих двух теорий переместил центр тяжести с дальнодействия на поля, и только в нашем столетии проблема, поставленная Гауссом, была решена.
Начало было положено Шварцшильдом [36], Тетроде [38] и Фоккером [9—11], которые независимо сформулировали понятие запаздывающего дальнодействия. Сформулированный
1J Пока не все сделано, считай, что ничего не сделано (лат.).
10. Инерция и космология в теории относительности
507
Фоккером принцип действия можно записать в следующем виде:
еаеЬЬ Олв) %dai dbK 1)
a<b
" 1 * ЫР*
В вышеприведенном выражении заряженные частицы обозначены индексами а, 6, а еа и та — заряд и масса частицы а. Мировая линия частицы а задается координатными функциями а1 (а) от собственного времени а. Поскольку речь идет о пространстве-времени Минковского, то
da2 = r\ik da1 dak, (3.2)
где x\ik = diag(— I,— I,— I, I). Первый член в s& представляет собой, следовательно, инерциальный член.
Второй член описывает электромагнитное взаимодействие между мировыми линиями любой пары частиц {а, Ь}. Дельта-функция показывает, что это взаимодействие эффективно, только когда S2ab (инвариантный квадрат расстояния между произвольными мировыми точками А, В на мировых линиях частиц а и Ь) обращается в нуль.
Это предполагает запаздывающее действие: условие S2ab= 0 означает, что А и В связаны лучом света.
Хотя эта формулировка и удовлетворяет требованию релятивистской инвариантности, она приводит к другим затруднениям. Основная трудность заключается в следующем (рис. 1). Произвольной точке А на мировой линии частицы а соответствуют две точки В+ и В_ на мировой линии частицы 6, для которых S^b = O. Влияние А воспринимается в В+ (в более поздний момент времени) и в В- (в более ранний момент времени). Аналогично поскольку принцип действия гарантирует равенство действия и противодействия, то и воздействие от В+ и В_ воспринимается в А. Таким образом, существуют влияния, распространяющиеся со скоростью света не только в будущее, но и в прошлое. Это противоречит принципу причинности, который представляется справедливым в повседневной жизни. Другие трудности были менее серьезны, хотя и ими нельзя было пренебрегать. Например, поскольку отсутствовало «самодействие»
Рис. 1. Точка А на мировой линии частицы а получает запаздывающее воздействие от В_ и опережающее воздействие от В+.
508
Дж. В. Нар/іикар
{случай a — b исключен из двойной суммы), то казалось, что нет никакого очевидного пути для учета затухания излучения.
