Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн - Каневский И.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Основным фактором, затрудняющим создание как однородных, так и двухслойных линз, является фазовая аберрация. Поэтому ее исследованию уделялось много внимания. Фолдс и Браун исследовали фазовую аберрацию однородных цилиндрообразных линз [101].
8.2.1. Однородные линзы [137]/
8.2.LL Фазовая аберрация. Пусть на однородную сферическую или цилиндрическую линзу радиуса R9 поперечное сечение которой показано на рис. 8.18, падает плоская звуковая волна с волновым фронтом ТА (для цилиндрической линзы предполагается, что волновой фронт и ось цилиндра параллельны). Предположим, что фокус линзы находится на ее поверхности в точке F9 вычислим величину фазовой аберрации <р(со), представляющей собой разность фаз между колебаниями на сферической или4 цилиндрической поверхности сравнения S с центром в точке F и радиусом FM = R^2 на преломленном волновом фронте, проходящем через точку А'. Поскольку волновой фронт, по определению, является поверхностью равных фаз, то фазовую аберрацию можно рассчитать как разность фаз некоторого луча TBB' и AA*\ распространяющегося вдоль акустической оси линзы.
Луч ТВ, параллельный оси линзы, после преломления пересекает поверхность сравнения S в точке Вг и ось AF в точке F'. Положение точки В на поверхности линзы будем характеризовать углом со между осью AF и отрезком BF. Угол падения луча ТВ на линзу равен
270
линзы
[ГЛ. S
2ф, угол преломления г|) = aresin [(sin 2©)/ЛГ], а угол пересечения преломленного луча BF' с осью равен 2(о —
Набег фазы луча TBB' равен <рв' = k0TB + k0NBB'9 а луча ЛЛ' равен фа'= k^NAA\ где = 2яДо — волновое число в среде, k0N = k — волновое число в материале линзы. Отсюда фазовая аберрация ф = фя'—фА', тогда
б (о)) = ф ((i))/k0R = 2 sin2 со + N cos (2(0 — ф) -Ь + N2 cos (2(o — г|)) [N cos г|э — cos 2(о] — - W {2 - [sin (2(0 — ?) — sin г|>]2}1/2 -N(2- ]/T ). (2)
Это выражение громоздко и неудобно для дальнейших расчетов. Между тем графические зависимости
6 = 6 (ш), ноказанные на рис. 8.19 для различных значений N — N = 2,0 (кривая Ia)9 N = 1,8 (кривая 2а), N = 1,707 (кривая За),— имеют простой вид, что позволяет аппроксимировать 6 (со) степенными функциями. Учитывая, что при о» = arccos(Af/2) функция 8 (о) достигает максимума, равного (2 — ЛГ)2/2, можно получить следующее приближенное выражение:
6* (о) « (2 — N)(O2— (о4/2.
(3)
20
-20
-60
л
Xа \
/5
30
45 ш°
Рис. 8.19.
Графики 6*((о) изображены на рис. 8.19 прерывистыми кривыми 16, 26, 36, которые хорошо согласуются с кривыми, построенными по точной формуле (2). Вычисление площадей под кривыми (сплошными и прерывистыми) с помощью графического интегрирования показывает, что в случае ЛЛ-= 1,707, когда расхождение между кривыми максимально, площади отличаются не более чем
Ч 8 2] СФЕР00БРАЗНЫЕ И ЦИЛИНДРООБРАЗНЫЕ ЛИНЗЫ 271
ча 5%, т. е.
я/4 Л/4
( [6(co)-6*((o)]d(o<0,05 J 6((o)d(o. о о
Такая точность аппроксимации вполне удовлетворительна, и в дальнейшем мы будем пользоваться простой и удобной формулой (3).
Введем координату t= (со/сот)2 и, используя формулу (3), представим фазовую аберрацию однородных линз (p(t) = -V?o*(co) в виде
ФХО-A^(5TT1(^)4 <4>
Сравнивая формулы (4) и (1.3.59), найдем коэффициенты дефокусировки и сферической аберрации:
d = [{2-N)IN] R«&, s = R®ij2N, (5)
Эти коэффициенты позволяют рассчитать основные характеристики однородных линз. Так, из (5) и (1.3.67) получим оптимальный показатель преломления, при котором среднеквадратичная аберрация минимальна:
N^1 = 2 - [(х + 2)/(х + 4)] <?. (6)
В цилиндрическом случае х = —1/2 и N${=2—(3/7) aL в сферическом случае х = 0 и = 2 — 6^,/2. Так как угол раскрытия волнового фронта однородных линз изменяется в пределах О^сощ^я/4, 'то оптимальные показатели преломления лежат в интервале 2^ІУ0рт'^1,7 (точнее, 2>MpV> 1,69; 2>A?$> 1,74).
Минимальную относительную среднеквадратичную аберрацию
rf&in = E^iJk2R* (7)
дает-формула (1.3.68) после подстановки в нее s из (5) и //opt из (6) при условии (om<l:
An = c4/690, efiin = ві/720. (8)
Оценим максимально достижимое отношение диаметра однородных линз D к длине волны Л. Из форму-
272
линзы
[ГЛ. 8
лы (1.3.56), связывающей относительную интенсивность в фокусе аберрационного фронта А2 со среднеквадратичной фазовой аберрацией Eo = e0(kR)2y с помощью формулы (6) получим зависимость (DJX)шах от показателя преломления
(DIXA = сі (х)( 1 - Л2)1'2 (2 - tfopt)-2 (9)
и угла раскрытия сходящегося фронта
(DIXA = (1 - Л2)1/2со-\ (10)
где ац = 2,14; ас=1,53 и 6Ц = 8,55, 6С = 8,35.
На рис. 8.20, а показаны зависимости (DJX) тАХ от Ar0pt> построенные по формуле (9) для значений A2 =j ,=0,9 (кривые Ic и 1ц) и А2 = 0,8 (кривые 2с и 2ц).
Рис. 8.20.
Поскольку для сферо- и цилиндрообразной линз значения (D/X)max в зависимости от о)щ, рассчитанные по формуле (10), отличаются друг от друга не более чем на 2,5%, на рис. 8.20,6 изображены графики только для цилиндрообразной линзы при значениях А2 = 0,9 (кривая I) и Л2 = 0,8 (кривая 2).
§ 8.2] СФЕРООБРАЗНЫЕ И ЦИЛИНДРООБРАЗНЫЕ ЛИНЗЫ 273
