Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн - Каневский И.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Мы видим, что в зависимости от ©т максимально достижимое отношение DJX изменяется в широких пределах— от нескольких единиц до нескольких сотен, так что при соответствующем выборе о)т могут быть сформированы остронаправленные диаграммы однородных линз. Так, например, при o)m = 22,5° и А2 = 0,8 отношение (?/а)шах = по, что позволяет сформировать диаграмму шириной порядка 1°. На это обстоятельство было указано в работе Фолдса и Брауна [101], но значения (DJX) maxi построенные по формуле (6) этой работы (кривая 3, рис. 8.20,6), приближенно справедливы до значений (om = 25° и несправедливы при ют > 34,5°. В опубликованной позже поправке [103] к работе [101] исправлена ошибка, связанная с применением к цилин-дрообразной линзе формул усреднения фазовой аберрации для сферообразной линзы, однако даже исправленное выражение несправедливо при ют > 35,5°.
При увеличении о)т до предельного значения 45° возрастающая фазовая аберрация однородной линзы снижает DJX до нескольких единиц. В этом случае оптимальные значения показателя преломления сферообразной линзы, согласно формуле (9), находятся в пределах N(0pt = 1,7-г- 1,8, а максимально достижимое отношение (DJX)т*х « 10-7-15, что согласуется с результатами работ [99, 100].
Сопоставим полученные данные по аберрации однородной сферической линзы с результатами работы Тарта-ковского [102], в которой исследована продольная сферическая аберрация осесимметричных звуковых линз в зависимости от формы поверхностей и величины показателя преломления. Для этого подставим s из формулы (5) в (1.3.63) и найдем продольную лучевую аберрацию второго порядка:
6S = - 2R(O2JN = (G&//2) (2 V2 JN).
Согласно формуле (1а) работы [102], второй множитель представляет коэффициент продольной «сферической аберрации однородной сферической линзы
(bS)*ic) = 2V2lN. (11)
Этот же коэффициент осесимметричной линзы с оптимальным соотношением радиусов кривизны, согласно
18 И. Нд Каневский
274
ЛИНЗЫ
ІГЛ. 8
работе [102], выражается формулой
(8S)('c) ^ N (4N- I)[A(N - I)2 (N + 2)]
—і
(12)
Зависимости коэффициентов (fiS)*c) от показателя преломления для обоих типов линз показаны на рис. 8.21.
Кривые 1 п 2 построены по формулам (11) и (12).
Выше мы видели, что значения оптимального показателя преломления однородной сферической линзы находятся в пределах 1,7 < tf0(pt< 2,0; поэтому из рис. 8.21 следует, что коэффициент продольной сферической аберрации однородной линзы в 1,2—1,6 раза больше, чем у осесимметрич-ной линзы с оптимальным соотношением радиусов кривизны.
Получим теперь выражение для фазовой аберрации однородной линзы, необходимое в дальнейшем для расчета поля в фокальной области. Обозначая
? = kuR®ii\48 - nvDcoirf?c,
Рис. 8.21.
ті = 2(2-W)(Dm2
и вводя /= (со/сот)2, из формулы (4) получим ф(/)= 4Pt)-1C-TI-1/2).
(13) (14)
(15)
Отсюда следует, что <р достигает максимума при / = = tj/2, причем фтах = ?. Таким образом, величина ? имеет простой физический смысл — это максимальное значение фазовой аберрации на сходящемся волновом франте. Если N = NopU то, подставляя (6) в (14), получим значение Tj при оптимальном показателе преломления:
t|opt-2(x + 2)/(x + 4).
Отсюда следует, что для сферообразной линзы T|opt = «= 1, а для цилиндрообразной Tj0pt = 6/7. Для этого
I «ЗІ СФЕРООБРАЗНЫЕ И ЦИЛИНДРООБРАЗНЫЕ ЛИНЗЫ 275
< іуїсія на рис. 8.22 показаны графики фазовой абер-1> iiuiiit построенные по формуле (15) для сферического (кривая /) и цилиндрического (ікривая 2) случаев.
8 212 Положение фокуса Мы рассмотрели случаи, KOi да задано такое N9 что фокус мипзы расположен на ее поверхности. Рассмотрим теперь обратную задачу — при заданном N определим положение фокуса
'ШИЗЫ.
Ранее мы условились под фокусным расстоянием линзы понимать расстояние от поверхно-(іи линзы до фокуса. В случае сферо- и цилиндрообразных линз л о понятие становится неопределенным, поскольку фокусы іаких линз могут лежать на поверхности, внутри и вне линзы Поэтому положения фокусов будем отсчитывать от центра линзы, и ^ который назовем точкой О. Введем безразмерные координаты Рис 822 волнового фокуса f = OFfR9
параксиального fо = OFoJR и крайнего fx = OFJR. To-іда из (1.3.73) получим
/(x) = [2J(K + 4)]/о + [(* + 2) J(K + 4)]fb (16)
причем х = Ов сферическом и х = —1/2 в цилиндрическом случае
Связь fo и fx с N можно получить, используя закон преломления. Выражения для f0 и fx имеют различный вид в зависимости от значения N: 1<#<^|/2, когда Г о и Fx лежат вне линзы,
fo = ^2(^-1)]-1, /! = ^2-1^2-!)-"2; (17)
при У 2^N^2, когда F0 лежит вне линзы, a Fi — внутри ее,
fo = N[2(N-\)]-\ /,= (^-1)-1/2; (18) при JV^ 2, когда F0 и Fi лежат внутри линзы,
;0= 1)-1, Z1 = (Jv2-!)-^. ((19)
276
ЛИНЗЫ
[ГЛ. 8
Разный вид этик выражений обусловлен тем, что при значениях N ^ 2 учитывается дополнительное преломление сходящихся лучей на задней поверхности линзы.
На рис. 8.23 показаны результаты расчета положения фокуса однородных линз: а — сферообразной, б — цилиндрообразной. Кривые 1 построены по формулам (17) — (19), т. е. с учетом преломления на задней поверхности линзы; кривые 2 — по формулам (18) и (19),
