Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Gy (k) -- е 2 .
С другой стороны, последовательность переменных Xj, у которой среднее нарастает с / неограниченно, может привести к негауссовой полной сумме У; соответствующий пример нетрудно построить.
* Feller J. Ch. X; В. W. Gnedenko and А. N. Kolmogorov, Grenzverteilin-gen von Summen unathangiger Zufallsgrossen (Academie Verlag, Berlin, 1959); M. Hoeve, Probability Theory 1 (4 th Ed; Springer. New York, 1977) Ch. VI.
36 В-третьих, легко видеть, что имеет важное значение условие независимости переменных X. Если в качестве всех г переменных взять одну и ту же величину X, результат будет не верен. С другой стороны, достаточно слабая зависимость переменных друг от друга является допустимой. Это видно из вывода распределения Максвелла по скоростям из микроканонического ансамбля для идеального газа (см. упражнение в § 1.3). .Микроканоническое распределение в фазовом пространстве является совместным распределением, которое не факторизуется, но в пределе г -> оо распределение скорости каждой молекулы гауссово. Эквивалентность различных ансамблей в статистической механике основана на этом факте.
Упражнение. Проверьте с помощью явных вычислений, что доказательство центральной предельной теоремы для лоренцевых переменных не справедливо, а ее результат не верен. Упражнение. В случайном блуждании шаги чередуются по длине: каждый второй шаг покрывает две единицы (влево или вправо). Найдите предельное распределение.
Упражнение. Возьмите последовательность переменных Xj (/=1, 2, 3, ..., г) с распределениями Р; (х) = 1 (х — /) и фиксированным /. Покажите, что центральное предельное свойство неприменимо, но что переменные Z, определенные соотношением
/=1
стремятся к гауссовостн. Как это можно было заметить a priori? Упражнение. Примером переменных, которые не являются независимыми, служат случайные блуждания с памятью. Предположим, что после шага вправо вероятность того, что следующий шаг будет сделан вправо, есть а, а для шага влево -?. Аналогично, после шага влево вероятность движения в гу же сторону есть айв противоположную — ?. Имеем <Ху> = 0; <~Хр = 1; а — ?--p- Находим [X/Xj-., = р*. Следовательно
OO-O и
г г і-і
<Г;!) ----- V х}> ч- 2 V V* ^X7Xa) = I-P Г-О (г°). (1.7.8).
/= 1 Р
В § 4.5 будет показано, что в пределе переменная Y стремится стать гауссовой.
ГЛАВА 2 СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
В этой главе описан более сложный класс случайных переменных, которые встречаются в некоторых областях физики и других наук. Эти случайные переменные можно рассматривать и как случайные функции, поэтому нам кажется логичным поместить эту главу здесь. С другой стороны, из педагогических соображений было бы лучше отложить этот материал на более позднее время,
37 поскольку он достаточно сложен, а приведенные здесь результаты не будут использоваться вплоть до гл. 8. Читатели, которые не интересуются этим предметом как таковым, вполне могут отложить чтение настоящей главы на более позднее время, пока им не понадобится этот материал.
2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Отсчеты счетчика Гейгера, попадание электронов на анод вакуумной лампы или появление покупателей у прилавка — это все события, которые могут быть отмечены точками на оси времени. В качестве других примеров можно привести собственные значения случайной эрмитовой матрицы, принадлежащие действительной оси * и отмеченные точками на энергетической шкале значения энергии частиц в космических лучах. Случайный характер расположения этих точек приводит к изучению определенного класса стохастических переменных, называемых «случайным множеством точек» ** (или событий) [6, гл. 6] или «точечными процессами»***.
а. Пространство выборок состоит из состояний, каждое из которых, в свою очередь, состоит:
1) из неотрицательного целого s = 0, 1, 2,
2) для каждого s—из множества s действительных чисел т0, удовлетворяющих неравенствам
— оо < T1 < T2 < . . . < T 9 < оо. (2.1.1)
Читатель может заметить аналогию с большим каноническим ансамблем в статистической механике и пространством Фока в теории поля.
б. Распределение вероятности этих состояний дается последовательностью неотрицательных функций **** Q?(tj, т2, ..., т,), определенной в области (2.1.1) и нормированной в соответствии с выражением
'Л QO OS
Qo -Г S Cl T1Q1 (T1) + J d T1 J d T2Q2 (T1, T2) + . . . = 1. (2.1.2)
-CC — OO T1
Для многих целей удобно исключить ограничение (2.1.1) с помощью следующего чисто алгебраического приема. Допустим, что каждое т0 изменяется от —оо до +оо, но договоримся, что все s!
* Porter С. Е. Statistical Theories of Spectra (Acad. Press, New York, 1965); Mehta M. L., Random Martices (Acad, Press, New York, 1967); Elliott R. J., Krumhansl J. A. and Leath P. L. Rev. Mod. Phys. 46, 465 (1974).
** В данном контексте не следует смешивать эти точки с точками, обозначающими определенные значения t. См. также Ramakrishnan, in: Encyclopedia in Physics 3/2 (S. Flugge ed., Springer, Berlin, 1959) See. 33.
*** Snyder D. L. Random Point Processes (Wiley, New York, 1975).
