Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
:N>= \q(x)dx.
(2.2.3)
Из выражения (2.1.7) находим также средний квадрат:
<jV2>-= <JV>2 + </V>.
(2.2.4)
Распределение вероятности N можно вычислить явно. Его характеристическая функция имеет вид:
(e-'^) = (exp[ifeVX(To)]) = e-v?lf J е1** Mq(X) dT^j =
s=0 V-® /
ехр
S<«
а= і
і«с(ті_ 1)^(т) dt
ехр
(е>*-1)\ <7 (OdT
ехр [(еі/г— 1) </V>] = е~<л'> E фе
.ikN
Л' = О
Nl
(2.2.5)
Сравнивая коэффициенты при e'kN в левой и правой частях этого равенства, находим, что вероятность того, что N независимых случайных точек попадает в заданный интервал, есть
г ,V \ к
¦ ' —(2.2.6)
N
/V!
Именно таким путем распределение Пуассона (1.2.10) возникает в физических задачах. Это распределение определяет вероятность нахождения числа независимых событий в ограниченной области,
41 например вероятность попадания дождевых капель в заданную черепицу. Оно определяется единственным параметром — средним значением, которое, как видно из (2.2.4), также является дисперсией. Распределение Пуассона для целых неотрицательных чисел столь же распространено, как распределение Гаусса для непрерывной области (— оо, оо). Однако это распределение нельзя рассматривать как универсальное, поскольку оно было выведено только для независимых событий. В § 7.3 мы увидим, что в химических реакциях это предположение не всегда справедливо. Кроме того, далеко не всегда дисперсия случайного числа частиц равна их среднему числу. Несмотря на это, в качестве полезного способа приближенной оценки часто можно полагать, что дисперсия имеет тот же порядок величины, что и среднее значение.
В качестве дальнейшего уточнения предположим, что а(т) постоянно в интервале (—7", Т) и равно нулю вне этого интервала. Постоянная v/(27") =• р и представляет собой среднее число событий в единичное время. В пределах T —- оо, v —- оо при фиксированном р получаем приближение стационарного распределения точек, называемое дробовым шумом*. Тот факт, что стационарные распределения могут быть описаны только с помощью предельного перехода, является еще одним недостатком настоящего рассмотрения случайных точек. Этот недостаток мы устраним в следующем разделе.
Упражнение. Убедитесь в том, что соотношение (2.2.2) — правильное условие нормировки, и покажите, что v представляет собой среднее значение количества всех точек: v = <s>. Упражнение. Обобщите формулы для случайных независимых точек в трехмер-ном пространстве. Покажите, что число точек N в произвольной области также подчиняется распределению (2.2.6). Упражнение. Обобщите формализм на случай, когда рассматриваются точки разных сортов, и покажите, что многомерный аналог распределения Пуассона— это просто произведение одномерных распределений (2.2.6). Упражнение. Если .Vb ,V2—две статистически независимые переменные, каждая из которых подчиняется распределению Пуассона, то их сумма тоже распределена по Пуассону. Упражнение. Рассмотрите суперпозицию распределений Пуассона:
ОС
Pn = С Ф (a) e~ada, (2.2.7)
к! П¦
О
где Ф° (а) в свою очередь является распределением вероятности. Выведите соотношения
OVv - <«>ф; <.N*>p — <N>1 = <а2>ф.
Таким образом, дисперсия такого распределения всегда больше дисперсии чисто пуассоновского распределения с тем же самым средним. Выразите также производящую функцию вероятности рп через характеристическую функцию распределения Ф (а) и выведите отсюда, что моменты переменной а равны факториальным моментам переменной п (ср. с. (1.2.15)).
* Иногда это название применяют также к нестационарному набору независимых событий. Точное определение «стационарности» дано в (2.3.13).
42 Упражнение. Любое распределение рп может быть представлено в виде (2.2,7), если отбросить условие, что Ф должна быть плотностью вероятности, а также допустить другие пути интегрирования *.
2.3. ЕЩЕ ОДИН СПОСОБ ОПИСАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ
Соотношения (2.1.6) и (2.1.7) для числа точек в заданном интервале наводят на мысль о том, что полезно определить последовательность функций /„(/], Z2, ..., Zn) для п=1, 2, ..., положив
1 С
/ I(^)==S(S-I)! J dx2. . . dxsQ, (Z1, т2, ..., T5),
- се
1 P
f(t U = (5-2)! J <іт3. . .dxsQs(tu Z2, T3, ..., Xs),
S = 2 -OO
fUi, 4, ..., ZJ-^^-^ j dx„+1. . .dt,Q,(Zb Z2, ..., Zn,
t„+1, ..., xs). (2.3.1)
Тогда соотношения (2.1 6) и (2.1.7) можно записать в более простом виде:
h
(Ab = JZiC1) d/x; (2.3,2)
ta 'Ь
= <Л7> + 5 f2 (Z1, Z2) dZ, dZ2. (2.3.3)
ta
Интуитивно значение функций /„ можно уяснить из определяющих выражений (2.3.1): произведение fn(tlt Z2, . .., t„)dt1dt2 .. . dtn равно вероятности того, что каждый из интервалов (Z1, Z1-J- dZx), (Z2, Z2 -J- dZ2) и т. д. содержит точку независимо от того, сколько точек может быть вне этих интервалов. Вероятность того, что один из этих интервалов содержит две точки или более, пренебрежимо мала, так как в соответствии с нашей договоренностью Qs не содержит дель-та-функций. Это соглашение приводит еще и к тому, что /„ также не содержит дельта-функций. В свою очередь, нет необходимости задавать значение величины /„, когда у нее совпадают два аргумента. Функция fn обладает следующими очевидными свойствами: 1) f„> 0;
