Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Упражнение. Проверьте (2.3.7) и (2.3.8) для независимых точек.
Упражнение. Докажите (2.3.8) непосредственно, т. е. раскладывая левую часть в ряд Тейлора и выражая каждый член через сумму, включающую несколько /„.
Упражнение. Пусть {tц) — множество моментов времени, содержащее т точек. Тогда mxm-матрица f2(t?, tv) положительно определена или по крайней мере неотрицательна.
Упражнение. Выведите следующее соотношение для характеристической функции распределения числа точек N в заданном интервале (ta,
ь
-^) = 1+52 Ji-=JLjMf1, t2, .... tn) At1 At2...Atn. (2.3.9)
П~ 1 {
а
Как следует из него, вероятность того, что в интервале (ta, tj,) не окажется ни одной точки, дается выражением
» 'ь
Poita, /ь)=-14-? ^JLj /»Cl. <».....tn) Atl At2...Atn =L ([-X)),
"=1 ta
(2.3.10)
где х-индикатор (ta, /s). Упражнение. Возьмите v неперекрывающихся интервалов и выразите характеристическую функцию G Ik1, k2.....kr) совместного распределения вероятности их чисел заполнения N1, N2, ..., Nv через /„. Упражнение. Докажите следующее тождество для функциональных производных от L: b'L
ISv (Q1)... bv (Qr)"
CC
-""=X ( vVi)---oVa)fr + a(Qlt .... Qr, t1.....tn) At1,.. Atn. (2.3.11)
При подстановке у = 0 это выражение сводится к fr(Qlt ..., Qr). Упражнение. Соотношение (2.3.1) между Qs и fn представляет собой линейное отображение в векторном пространстве объектов вида (2.1.4). Матрица этого отображения Q дается выражением (я; fb t2, ..., t„ I Q I s; T1, т2, •¦•, т.,) =
1 -6(^-11)8(*,-т,)...6(Гя—тп), (2.3.12)
(s-я)!
1
где 7-Г7 = 0 при S < П.
(s—я)!
46 Хотя все физические процессы ограничены во времени, на практике довольно часто это можно не учитывать. Так, при изучении шума в электронных устройствах обычно не интересуются эффектами, связанными с включением и выключением. Описание, в которое длительность процесса не входит, с одной стороны, проще, а с другой — является более адекватным. Таким образом, мы приходим к изучению множеств точек с плотностями, не стремящимися к нулю при Z±оо. Такие множества не могут быть описаны с помощью Qs, так как условие нормировки (2.1.3) требует обращения Qs на бесконечности в нуль. Понятно, что этот недостаток можно устранить с помощью введения вымышленного длинного интервала времени T, но это приведет к появлению в уравнениях величины, не имеющей отношения к делу. В то же время описание функций /„ переносится на этот случай без дополнительных ухищрений.
Особый интерес представляют случайные события, у которых стохастические свойства не меняются со временем. Их называют стационарными и определяют соотношением
Ы'Н-т, t2 + x, ..., t„ + T) = f„ (Z1, Z2, ..., ZJ (для всех п, tj, т).
(2.3.13)
В частности, плотность событий Д может быть постоянной. Как уже говорилось в § 2.2, если случайные события стационарны и независимы, множество состояний называют дробовым шумом. В этом случае в соответствии с (2.3.4) получаем
InUu t*, - '„) = (/,)"•
Следовательно, дробовой шум полностью определяется единственным параметром, а именно своей плотностью. Альтернативное название «пуассоновский процесс» показывает, что он может рассматриваться как стохастический процесс (мы в этом убедимся в § 4.2), Упражнение. Вычислите L ([у]) для дробового шума.
Упражнение. Примените результаты (2.3.9) и (2.3.10) к дробовому шуму. Упражнение. Катод подогревают переменным током таким образом, что вероятность испускания электрона в интервале времени (т, т4-с!т) есть Ф (т) dt независимо от испускания других электронов. Найдите функции /„, описывающие события, состоящие в опускании электронов.
2.4. ФОРМУЛА ОБРАЩЕНИЯ
Последовательность уравнений (2.3.1) выражает функции /„ через линейные комбинации Qs. В этом параграфе мы получим обратные формулы, которые выразят Qs через /„. Так как эти результаты не будут нами использоваться в дальнейшем, материал настоящего параграфа можно рассматривать в качестве упражнения.
Первый шаг состоит в задании величины/, которая действует как единичный оператор на пространстве состояний. Возьмем точку в пространстве состояний, т. е. положительное целое г и действи-
47 тельные числа G1, G2, . . ., Gr. К каждому Gp присоединим окрестности длиной є и определим индикатор:
Xp(Z) = I для Gp- 1/2e<Z<Gp + 1/2e, Xp(Z) = O для |Z-Gp|^V 2є.
Будем считать є настолько малым, что никакие две окрестности не перекрываются, и в конечном счете е устремим к нулю. Пусть также %—характеристическая функция дополнения всех окрестностей
Х(0= 1-2 Xp (0-
p=i
Кроме того, мы введем А (п) для символа Кронекера б„, 0. Для А (п) используем следующее представление:
2л
aH = J е'*»^. (24Л>
ь
И наконец, определим функцию / в пространстве состояний с помощью соотношения
S S
ls{ T1, T2, .... Ts) = 8-'' 2 Xl(TtJ1)- 2 X2(To2)- ••
Oi=! O2 = 1
•• 2 Xr(Tor)-A! 2 х(та)\ (2.4.2)
Or=I 4<J=1
Эта функция зависит параметрически от г, G1, G2, . . ., Gr и е.
В качестве второго шага вычислим среднее значение /, выразив его через G1:
