Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Для того чтобы получить этот результат, запишем характеристическую функцию произвольного распределения Px:
Gx (k) = J еPx (х) dx = 1 — -і о2 k* + ... . (1.7.2)
Тогда для характеристической функции Z находим
Gzik)'
0Х(
[V
(1.7.3)
что действительно соответствует распределению (1.7.1). Слагаемые в (1.7.2), обозначенные многоточием, приводят к появлению в Gx(kjyrr) членов порядка г~3/2 и поэтому в пределе г - — оо вклада не дают.
Пример. Для прояснения полезно проследить явно, как распределение вероятности стремится к своему пределу*. Пусть X—стохастическая переменная, которая принимает значения 0 и 1 с вероятностью 1/2 каждое. Пусть Y—сумма г таких переменных. Тогда Y принимает значения 0, 1, 2, ...,г с вероятностью
= (1.7.4)
Для нахождения предела необходимо сначала найти подходящую новую переменную 1. Среднее значение и дисперсия следуют из (1.7.4) или могут быть найдены непосредственно:
<K> = r<X> = Ir, «,? = «? = J г,
* Кас М. Amer. Mathem. Monthly, 54, 369 (1974). Domb С. and Offenbacher Е. L., Amer. J. Phys., 46, 49 (1978).
34 соответственно полагаем
v"=Yr +Yrv2z-
Вероятность того, что Z лежит между г и z-j-Az, составляет
Pz(z)Az- 2 рп. (1.7.5)
1/2 1'2 1/2Г+1/2Г г < л < 1/2'+ 1/гг (г + Дг)
Когда г велико, это выражение определяет гладкую плотность вероятности Pz, которую и нужно определить.
Для больших г выражение (1.7.4) может быть написано в виде
2 I
'Og Pn= -г Iog 2-
/ j ^ г+ 4 } log г—і п+— ) Iogn-
\
2'у
1 \
— і r-/tij j log(r-
I
log(2л)=
¦ г log 2-!
1 , IL1
-j log t -- i п +-j
log!
f 1 \T
1
T-!.'-Z
I
.1,,/1 1 -
1/2,
-J log 2л-=
= log 2 —-j Iogr-
(r
1
Tr
l \ f .
z---o і !r
f± \ 2
--j log 2л =
= log 2-
~ log r-± z2-J log2n + О (Г l'2).
Подставим этот результат в (1.7.5): Pz(Z)Az=. I
гг'2\Z
ехр
[log 2-1
log ГZ2 -у log 2л
=(2я)"
Az. (1.7.6)
Важность для физики этого предельного выражения состоит в его применении: при больших г выражение (1.7.4) можно заменить его приближенным значением
1 \ 2 -
D / Ч ! 1 1/2
Pv (у)-= \ J-ЛГ ^ ехр
2
/
1
(1.7.7)
Возникает вопрос: как дискретное распределение вероятности можно аппрок -симировать непрерывным? Ответ дает соотношение (1.7.5) — это описание, огрубленное по масштабам. Более точно (1.7.7) представляет собой вероятность найти Y в интервале у, y-{-dy, когда Ay > 1. В то же время очевидно, что оно некорректно описывает вероятность, когда Ау^~ 1.
Другой парадокс состоит в том, что (1.7.7) простирается от —се до оо, несмотря на то что по построению Y не может принимать отрицательных значений. Нельзя просто произвести обрезание (1.7.7) в нуле не нарушая нормировки. Разрешение парадокса состоит в том, что (1.7.7) является аппроксимацией, которая при отрицательных у дает правильное нулевое значение лишь приближенно. Приближение является очень хорошим прн больших г:
Py (у < 0) < (л г
1
ехр
35 Упражнение. Покажите, что результат (1.7.7) в действительности совпадает с
полученным из центральной предельной теоремы. Упражнение. Примените центральную предельную теорему к случайным блужданиям в § 1.4, сравните с (1.4.8). Сравните результат с явным вычислением, как было проделано выше. Упражнение. Покажите, что распределение Пуассона стремится к распределению Гаусса при а —с ос. Упражнение. Верификацию, аналогичную проделанной выше, можно выполнить, когда X принимает значения О, 1 с вероятностями а, ?, где a + ?=l (а не 1/2, 1/2) так что р задается (1.1.5) с у = а/Р (см., например: [!, pp. 169 ffj). Однако теперь мы перейдем к пределу N —>- оо и одновременно
Г стремим а к нулю, a —a N, так что <УУ--а остается фиксированным, [окажите, что в этом проделе биномиальное распределение стремится к распределению Пуассона.
Различные наборы строгих математических условий, при которых справедлива центральная предельная теорема, можно найти в учебниках*. Однако тому, кто занимается физикой, важнее качественно понимать область ее применимости. С этой целью мы добавим несколько замечаний.
Во-первых, не требуется гладкости р(х). Это ясно из приведенного выше примера, где
р(х)-\'г6(х) +1б(ДГ-1).
С другой стороны, необходимо минимальное условие гладкости характеристической функции G (k), а именно чтобы существовала вторая производная в начале координат. То, что такое условие нельзя игнорировать безнаказанно, было продемонстрировано с помощью распределения Лоренца. Если переменные Xi независимы и имеют одно и то же распределение Лоренца, то их сумма Y тоже имеет распределение Лоренца. Следовательно, оно не стремится к распределению Гаусса.
Во-вторых, понятно, что нет необходимости требовать, чтобы все переменные X имели одинаковое распределение. Допустим, имеется T1 переменных с одним распределением и г2 переменных с другим. И пусть оба числа гг и г2 стремятся к бесконечности так, что их отношение остается фиксированным. Тогда обе суммы Y1 и Y.z могут быть аппроксимированы распределением Гаусса и общая сумма Y-Y1-^Yi опять гауссова. Ее характеристическая функция в обычных обозначениях имеет вид
