Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
QO
</> = e-'Lir S f Xl (То,).- -Xr(Tor)X
S =O ' O1, ..., Or
2 X(Ta)YQi(т1. • • -. TjdT1. . .(Itjs.
\a= 1 J
Для того чтобы получить ненулевой вклад, нужно выбрать из переменных интегрирования набор г переменных и приписать им г окрестностей:
X Qs (Gl.....6,, Trtj, . . ., T,)dxr+1. . .dTs,
где e считалось достаточно малым, чтобы заменить каждый множитель E-1Xp(Z) дельта-функцией. Кроме того, подынтегральное выражение обращается в нуль, как только одна из оставшихся пере-
48 менных интегрирования попадает в дополнение окрестностей. Поэтому остается только область интегрирования, порядка e.s~r. Следовательно, в пределе выживает только член с S = г, так что
<-/> = Qr (Єї, Q2, б.)- (2.4.3)
Третий шаг состоит в расписывании среднего / через /„. Используя (2.4.1), получаем
2л
< /> = ?-' У, X, (T01). . -Xr(T0r)II ехр [ik% (То)]).
о ' С,. ... ur °
Поскольку X (T<j) — либо ноль, либо единица, получаем
2Л
</> = e_rfS( ^ Xi (То,)---Xr(^r) ![{! + (е^-ОхЫ}) =
о O1.....о г а
2л <*>
^-'[trL (е,А-1)" (Ta1)- --Xr(т0г)х(х0|.+1)..-зс(таг+я)>.
о ' " = O
(2.4.4)
Кратное суммирование проводится повеем значениямO1, O2,..., ог, но при этом подразумевается выполнение неравенств ог+1 < стг+2 < . . . ... ^orrn. Каждый член, в котором два значения о совпадают, равен нулю. Следовательно, среднее значение под интегралом в (2.4.4) имеет вид
' ? = -^T j Xi (Л) - Xr Ur)x Cr+i)--X (tr-rn) fr+n {tu tr + n) d Z1... dZrt „.
(2.4.5)
(Множитель 1/я! заменяет ограничения на ог+1, ..., ог+п.) Для малых є функции %р сводятся к дельта-функциям, а % равна единице, исключая набор интервалов с общей длиной гг. Следовательно, (2.4.5) сводится к
/ = ^ + Ol.....0. tr.i, tr + n) dtr+1.. .d/r + n-fO(p/+1).
Подставляя это выражение в (2.4.4) и замечая, что интегрирование приводит множитель (eift—1) к (—1)", находим среднее значение /, выраженное через /„ в пределе є 0:
со
<b = V ±z|VL f/rbn(e„ ...,er, Zr+1.....Zr + JdZr+1...dZr + n.(2.4.6)
/J = O
Окончательный результат определяем, комбинируя (2.4.6) и (2.4.3). После упрощения обозначений получаем
со
Qr(0.-----«Л = Z ..., 0глх, ..., Zjdz1^dzn.
п = 0 '
(2.4.7)
49 Эта формула дает выражение набора функций Q1 через набор функций /„ и представляет собой обращение формулы (2.3.1). Упражнение. Проверьте результат явно для случая независимых точек. Упражнение. Предположим, мы обобщили определение /, положив Д (и)---бп,Л'' с некоторым фиксированным целым N. Какое выражение получим в результате для </> н какова его интерпретация? Упражнение. Вероятность иметь в точности Л'> 1 точек в заданном интервале Ua. '&) дается выражением
(Л (2х(та)-Л')},
где X — индикатор интервала. Покажите, что эта вероятность имеет вид __ и - Л'
PxCa- X T^'-'v); - '(' М'ь ¦¦., t„) Aiidt2...^,,. (2.4.8)-
/1=.'V
Сравните результат с (2.3.9). Упражнение. Матрица Q, определенная в (2.3.12), отображает вектор (1, 0. 0) в нуль. Получается, что мы нашли в (2.4.7) обратную к ней матрицу. Как разрешить этот парадокс?
Пример. Фотон движется в среде, в которой он с вероятностью ? в единичное время порождает вторичный фотон с помощью стимулированного излучения. Допустим, вы хотите узнать распределение вероятности ps числа s вторичных фотонов. Вероятность того, что п вторичных фотонов испускается
в моменты /і, t2..... tn независимо от событий в другие моменты времени,
есть
Ы'1. 1-І, ..., tn)
Используя (2.4.7), получаем
QHt1. T2.....т,) = Р*е-РГ,
где T — время движения в среде. Следовательно, Г
Ps -JT j Qi (Tl.....Ti)dT1...dTs-i&e-?7'. (2.4.9)
о
Этот результат становится очевидным, если заметить, что события, состоящие в испускания вторичных фотонов, статистически независимы.
Предположим далее, что среда безгранична, но за единичное время первичный фотон может поглотиться с вероятностью а. Тогда
fn(tь t2.....f„)= ?"exp[—Ctmaxfv].
Аналогичные вычисления теперь дают при условии а > ?
1 V (-1Г , , s, f ?> \" + s Ф/аУ го* in*
" - ir 2- -їїг {n"s)! U) = d+m^1' ( } f!=0
Соответствующая производящая функция вероятности имеет вид
f^ TT^Tz- (2-4Л1)
.S=O
Полное число фотонов, порожденных в каскаде (вторичных, третичных и т. д.), будет вычислено в (3.6.11)
50 2.5. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ
Кроме функций распределения fn полезна ввести еще одну последовательность симметричных функций gm, называемых корреляционными функциями. Эти функции определяют через In с помощью следующего кластерного разложения:
/іСі) = ?іСі),
/2(/1, ta) = gl Cl) gl C2) + gt См t2), /з Cl. tt, ti) = g1(t1)g1(tt)gl(ta) r
+gi(ti)gAt„ t3) + gi(tJgAJu t3)-rgi(t3)gAtu tJ-rgAt 1, t2, t3), • ...................... ..... (2.5.1)
Общее разложение функции /„ получается с помощью следующего правила.
1. Разбиваем переменные tu t2, . . ., t„ на подмножества всеми возможными способами (не считая пустого множества, но включая полное множество, как одно из возможных подмножеств).
2. Для каждого разбиения берем произведение функций g для отдельных подмножеств.
