Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
2) fn является симметричной функцией своих аргументов Z1,
^2, • • • t ^n-
* Gardiner C.N. and Chaturvedi S., J. Stat. Phys. 17. 429 (1977); 18, 501, (1978).
43 Функции fn не удовлетворяют условиям нормировки и поэтому сами не являются плотностями вероятности. Здесь может возникнуть небольшая путаница, поскольку раньше мы интерпретировали их как вероятности. Но их вероятностная интерпретация применима только к бесконечно малым интервалам или по крайней мере интервалам настолько малым, что отсутствует заметная вероятность нахождения в них двух или большего числа точек. Что касается больших интервалов (ta, tb), то, как можно видеть из выражения (2.3.2), проинтегрированная функция Z1 является средним числом точек, а не полной вероятностью найти точку в этом интервале. Таким образом, она представляет собой среднюю плотность точек. Аналогично, функции более высокого порядка /„ представляют собой нечто вроде «средних совместных плотностей». Только для бесконечно малых интервалов они действительно сводятся к вероятностям. Стра-тонович [8, гл. 6] называет их функциями распределения, но, для того чтобы избежать неправильного толкования, мы будем их называть функциями /„.
Упражнение. Вычислите функции / л для нвззвисимых точек и покзжитв, что Ы'ь <«, .... in)=h(t1)h(t2) ¦¦¦ h(tn)- (2.3.4)
Упражнение. Пргдположим, что попадания фотонов в счетчик образуют случайное множество с известными стохастическими свойствами. Вероятность срабатывания счетчика для каждого попадания есть а. Выразите функцию fn срабатывания счетчика через соответствующую функцию попадания фотонов в счетчик.
Упражнение. При описании точек функция /„ является более полезной, чем Qn, по следующей причине. Большинство величин А, средними от которых мы интересуемся, являются «суммарными функциями», т. е. они состоят из одночастичных функций а (та), просуммированных по всем частицам, или из двухчастичных функций а (та, та), просуммированных по всем парам частиц, и т. д. * В обіцем виде
2 flOb1. V ¦¦¦• Тая),
01, O2, ¦ - - .On
где а — функция лишь небольшого числа частиц. Примерами могут служить выражения (2.3.2) и (2.3.3). Покажите, что среднее значение А включает только fi, f2, .,., /, и не содержит функций распределения более высокого порядка. При каком условии оно содержит только /п?
Предположим, прибор реагирует на попадание фотонов или электронов с некоторой чувствительностью, которая по внешним причинам зависит от времени. Пусть реакция на попадание в момент т есть г|)(т). (Существенным обстоятельством является то, что ответ не зависит от попадания других частиц: отсутствуют «мертвые зоны» или время восстановления работоспособности прибора.) Если s попаданий происходит в моменты времени T1, т2, .... xs, общая реак-
* Важность этого факта для статистической механики была подчеркнута А. И. Хинчиным (Khinchin A. I. Mathematical, Foundations of Statistical Mechanics (G. Gamow transl., Dover PubL, New York. 1949, p. 63)), но он называет А суммарными функциями только при я=1.
44 ция прибора имеет вид
U= 2 ^ (T0).
а= 1
Если попадания случайны, среднее значение общей реакции прибора в соответствии с (2.1.5) дается выражением
5 Xх
< S Ф (Xff)) = S (іЛ)Г J dTl * ' * d^ ¦¦ ^s) ^ (Ti) =
О— 1 >= 1 -оо
X
= С 4 (Tl) /і (/і) dZx. (2.3.5)
xJ
— ЭС
Средний квадрат t/ имеет вид
( 2 4' (То) 2 4 (Tc) ) == (2 4 (Та)2) + ( 2 Ч> (Та) 4 (Та-)) =
- S Ф (/і)2 /і (Л) d/t + (Л) Ф (Z2) U Ci. 4) d/, dz2.
Можно продолжить это рассуждение, вычисляя высшие моменты, и таким путем вычислить полную характеристическую функцию U. Но тот же самый результат можно получить намного более простым способом, если сначала ввести производящий функционал для /„.
В гл. 1 было показано, как использование производящей функции моментов упрощает обращение с моментами и кумулянтами Сейчас мы введем аналогичную технику для /„. Однако вместо вспомогательной переменной k нам теперь понадобится вспомогательная функция, или «пробная функция» v(t), а вместо производящей функции у нас будет тогда функционал, т. е. величина, зависящая от всех v, взятых для — оо < Z <. оо (их обозначают квадратными скобками). Производящий функционал для /„ имеет вид
IA[V\) = ( ПН (Та)})- (2.3.6)
а= 1
Раскрывая произведение, получаем
MM)= 1 + (2^Ы) + ( 2 U(Ta)U(TaO)+... =
^a ' ' а< а' '
= 1 + § V (Z1) /, (Z1) Atl + Iju (Z1) V (Z2) /2 (Z1, Z2) dz, dz2 + . . . = 00
= 1 +Z І \v(i1)v(t,)...v(tn)fAti, U, ..., tn) dZ, dZ2. . . dZ„. H= 1 ' 0
(2.3.7)
Получилось, что /„ являются коэффициентами разложения функционала L по степеням пробной функции и, так что знание функционала L ([и]) для всех функций и однозначно определяет все /„.
45 Для того чтобы найти следствие из этого результата, мы выразим V через другую функцию и с помощью равенства
о(/) = е1в<»—1,
тогда тождество (2.3.7) дает
оо
(exp j V1M(T0) )= 1 +У, Jr j{ei"«<>—1} . . . {е1"'-'«)— I} X
XfAtu .... tn)utx...&tn. (2.3.8)
Упражнение. Покажите, что этот результат сразу приводит к выражению характеристической функции <е,ш> через fn, где U обозначает то же самое, что и выше.
