Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кампен Ван Н.Г. -> "Соханистические процессы в физика и химии" -> 13

Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.

Кампен Ван Н.Г. Соханистические процессы в физика и химии — неизвестно, 2000. — 375 c.
Скачать (прямая ссылка): stohasticheskie2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 159 >> Следующая


* Tolmafi Rl С. The Principles-о! Statistical Mechanics (Clarendon, Oxford, 1938).

** Betntrand J. Calcul des' рїоЬаЬіlites (Gauthiers-Villars, Paris, 1889).

Рис. 1. Окружность Бертрана со случайной хордой

29 является практически линейным в соответствующей области. Однако нет логического обоснования для применения этого метода к данным с широким р азбросом.

Существует особый аспект вечной проблемы индукции: каким образом наука умудряется выводить общие законы из неизбежно ограниченного количества наблюдений? Поскольку классическая логика не может ответить на этот вопрос, было предпринято много попыток обратиться к вероятностному рассмотрению. Целью такого подхода является вычисление вероятности того, что гипотетический закон справедлив, если задан набор наблюдений. Предыдущее обсуждение показало, что этот вопрос не имеет ответа до тех пор, пока не будет задана или предположена априорная вероятность всех возможных гипотез. Если я вытащу шар из урны и он окажется черным, какова вероятность того, что все шары в этой урне черные? Вопрос не имеет ответа до тех пор, пока не будет известно, что урны выбраны из заданного ансамбля урн, содержащих черные и другие шары в заданной пропорции. Когда гипотеза является научной теорией, выдвинутой для объяснения определенных наблюдаемых фактов, никакие априорные вероятности не даны и даже «множество всех возможных гипотез» является весьма туманным понятием *.

Вероятность того, что теория верна, не может, следовательно, быть выражена объективно в виде процентов, а является субъективной величиной и может обсуждаться. И все же часто соглашение может быть достигнуто, когда число подтверждающих наблюдаемых фактов велико и вероятность a posteriori также велика, несмотря на то что выбранные априорные вероятности очень малы. Но эти вероятности невозможно разумным способом выразить числами. Упражнение. Вычислите распределение вероятности длины хорды в трех случаях примера Бертрана. Упражнение. N урн содержат b# черных шаров и ак других (?=1,2, ..., N). Я случайным образом выбираю одну урну (все урны равновероятны) и случайным образом вытаскиваю один шар. Если он черный, какова вероятность, что я выбрал k-ю урну? Найдите ответ для случая, когда я выбираю урну с вероятностью, пропорциональной количеству шаров, содержащихся в ней.

Упражнение. Покажите, что распределение Лоренца по частотам является

также распределением Лоренца по длинам волн. Упражнение. Предположим, вы ожидаете, что х является функцией t в виде f (t\ а), где а означает набор параметров, которые должны быть найдены из наблюдаемых величин х-: в моменты t-. Метод наименьших квадратоь состоит в их определении из условия

2 {*, — /(/',¦; a)}2 = minimum. і

Преобразуйте задачу к новой переменной у = Ф(х) и покажите, что минимизация этой переменной приводит к другому значению а.

1.6. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГАУССА

В общем виде это распределение для одной переменной записывается следующим образом:

__L Ax2-Bx

P(X)=Ce 2' (— 00<JC<<00), (1.6.1)

* К. R- Popper на с. 287 в: «Предположения и опровержения» (Harper and Row, New York, 1968) утверждает, что наименее вероятные теории наиболее ценны. Он имеет в виду, что на наиболее определенные предсказания, которые дает теория, менее всего можно положиться a priori, но тем больше их ценность, когда они оказываются правильными, т. е. когда их вероятность а posteriori после проверки и сравнения с действительностью оказывается близкой к единице.

30 где А — положительная константа, определяющая ширину распределения, В определяет положение пика, а постоянная нормировки,

Часто бывает удобным выразить параметры А и В в терминах среднего ^1 =— В/А и дисперсии а2=1 /Л:

P (х) (2ло2)-1/2 ехр

2о2

(1.6.3)

Это распределение называют распределением Гаусса или нормальным распределением*. Для ссылок мы запишем его характеристическую Функцию

G (ft)- (1 64)

Т,ля этого распределения особенно удобно использовать кумулянты

X1 ^= K2 =¦ a2, X3 X4 = ... 0.

Если X1, X2, ..., Xr — взаимно независимые гауссовы переменные, то их сумма У = X1 + X2-f ...-f Xr тоже является гауссовой, что сразу видно из формулы (1.4.4). Среднее значение и дисперсия Y являются суммами средних и дисперсий переменных X. Это полностью определяет распределение Y.

Упражнение. Найдите моменты распределения (1.6.3).

Упражнение. Докажите, что (1.6.3) стремится к Ь(х—р^), когда б2 стремится

к нулю (умножьте на пробную функцию и проинтегрируйте). Упражнение. Свойство двух независимых гауссовых переменных образовывать в сумме снова гауссову переменную не является уникальным. Докажите, что распределения Лоренца и Пуассона обладают аналогичным свойством. Упражнение. Докажите, что свертка двух гамма-распределений (1.5.5) с одним и тем же а тоже является гамма-распределением.

Многомерное распределение Гаусса имеет вид

P (х) = С ехр

T S ^ Іjxixj X. &IхІ

і. і = і

;=i

(1.6.5)

с положительно определенной симметричной матрицей А. Перепишем (1.6.5) в векторных обозначениях:
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 159 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed