Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
0V = 0*,+ ffX1. (1.4.3а)
* Другие неравенства такого типа данй А. А. Дубковым и А. Н. Малаховым: Radiophys., Quantum. Electron. (USA) 19, 833 (1977).
23 или в наших обозначениях
«(Хг + Х2)2» = «Xi» + «X.2». (1.4.36)
Для переменной Y характеристическая функция
Gk (к) = Gх2 (к, к).
Если Xu X, независимы, правая часть факторизуется в соответствии с (1.3.10), так что
Gy(k) = GXl(k)GXl(k). (1.4.4)
Это третье правило: для независимых переменных характеристическая функция суммы является произведением их отдельных характеристических функций.
Примечание. Можно было бы выдвинуть следующее логическое возражение. В § 1.1 стохастические переменные были определены как объекты, состоящие из множества возможных значений и распределения вероятностей. Алгебраические операции с такими объектами, следовательно, должны быть скорее определены, чем выведены. Значит, логичнее было бы сложение, обсуждаемое в этом параграфе, и преобразования, рассматриваемые в следующем разделе, рассматривать как определения, конечно, если будет показано, что свойства этих операций, очевидные для нас, действительно являются следствиями определений.
Усреднение является особым видом операции, поскольку оно связывает стохастическую переменную с нестохастическим, или «регулярным», числом. Оно может быть рассмотрено и как проецирование, осуществляемое следующим образом. Множество всех стохастических переменных содержит подмножество переменных, плотность вероятности которых есть дельта-пик. Это подмножество изоморфно «регулярным» числам из множества возможных значений и может быть отождествлено с ними. Тогда операция усреднения является проецированием полного пространства стохастических переменных на это подмножество. Этот факт будет использован в (14.4.6).
Упражнение. Докажите свойства (1.4.3) и покажите на примере, что условие
некоррелированности переменных X1, X2 является необходимым. Упражнение. Обобщите эти утверждения на сложение более чем двух переменных. Упражнение. Сформулируйте правила для суммы двух или большего числа векторных переменных (дисперсию нужно заменить матрицей ковариаций). Упражнение. Для независимых переменных кумулянты суммы равны сумме кумулянтов. Соотношение (1.4.3) является частным случаем этого правила. Упражнение. Все три приведенные выше правила используют как само собой
разумеющееся в кинетической теории газов. Приведите примеры. Упражнение. В пространстве стохастических переменных скалярное произведение можно определить как <ХК>. Докажите, используя это определение, что проецирование на среднее является эрмитовым оператором. Упражнение. В пространстве действительных матриц X размером jV х А' функция
X — <Х> = (Sp MX)/(Sp М),
где M — фиксированная матрица, является линейной проекцией X на действительные числа, эта функция отображает единичную матрицу на 1. Этих свойств достаточно для установления тождества
<е*>--=ехр [<Х>+1«Х2» + 1«ХЗ»4 ... .
Старый, но все еще поучительный пример — это дискретные по времени случайные блуждания. Пьяница движется вдоль прямой, делая
24 каждый следующий шаг либо влево, либо вправо с одинаковой вероятностью. Его возможные положения представляют собой целые числа — оо<я<оо. Требуется найти вероятность рп(г) его нахождения в положении п после т шагов с точкой старта в п = 0. В § 4.5 мы будем трактовать этот пример как случайный процесс, здесь же рассмотрим его как задачу о сложении переменных.
Каждому шагу соответствует стохастическая переменная Xj-(/=1,2, . . ., г), принимающая значения 1 и —1 с вероятностью 1/2 каждое. Положение после г шагов дается выражением
К = X1+ X4+ ... +Xr.
Отсюда сразу находим <Yy = 0, и так как шаги взаимно независимы, то
<Y2y = г <Х2> = г. (1.4.5)
Тот факт, что средний квадрат смещения пропорционален числу шагов, является типичным для процессов диффузионного типа. Это предполагает для смещения за единичное время
/ ' Y Y2 \ 1 Л
Ит"^0 при r
Отсюда следует, что дисперсия средней скорости с увеличением времени стремится к нулю. Это отличает диффузионное рассасывание от распространения посредством свободно разлетающихся частиц или в виде волн.
Для того чтобы найти детальное распределение вероятности Y, используем характеристическую функцию
Gv (к, г)-40.*(*)]'-[уе'*+уе-*]'. (1.4.6)
Вероятность того, что Y принимает значение п, есть коэффициент при е'пк:
PM=Tr(JF^m)- <L4-7>
Понятно, что биномиальные коэффициенты равны нулю, пока (г — п)/2 есть целое между 0 и г включительно.
Распределение (1.4.7) параметрически зависит от числа шагов г. Его асимптотическая фюрма для больших г представляет особый интерес, потому что она имеет простой вид, который, как будет видно в гл. 7, в значительной мере нечувствителен к деталям модели. В соответствии с (1.4.5) распределение становится очень широким с ростом г и, следовательно, покрывает много отдельных положений п. Тогда имеет смысл заменить дискретное п непрерывной переменной X и «размазать» рп. Формально плотность вероят-
25 ности P (X, г) мы вводим, полагая
