Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
В непрерывной области функция P (х) может включать в себя дельта-функции:
P (X) = J1 Pnt (X-Xn) +P (X), (1.1.3)
п
где р—финитная или по крайней мере интегрируемая неотрицательная функция (рп > 0), и
Ypn+\P(x) d*=l. tl
Физически это можно представить как множество дискретных состояний хп с вероятностью рп, как бы наложенных на непрерывную область. Если P (х) состоит из одних дельта-функций, т.е. Р(х) = 0, то такое распределение может рассматриваться как дискретное распределение рп на дискретном наборе состояний хп. Математическая теорема утверждает, что практически любое распределение на —оо < X < оо может быть записано в виде (1.1.3). В общем виде выражение (1.1.3) содержит три члена, но не выписанный здесь третий член имеет достаточно странный вид и, как правило, не встречается в физических задачах*.
Упражнение. Пусть X — число очков, полученных при подбрасывании игральной кости. Определите множество возможных значений и распределение вероятностей. Тот же вопрос — для подбрасывания двух игральных костей.
* В [2, р. 143] первый член в выражении (1.1.3) назван «атомическим распределением».
12 Упражнение. Подбрасываем монету N раз. Докажите, что вероятность выпадения «орла» точно п раз составляет
= (я-0, 1,2, ...,JV) (1.1.4)
(«биномиальное распределение»). Если выпадение «орла» приводит к выигрышу одного пенни, а «решки» — к проигрышу одного пенни, найдите распределение вероятности суммарного выигрыша. Упражнение. Пусть X составлено нз трех компонент скорости молекулы газа.
Найдите множество возможных значений и распределение вероятностей. Упражнение. Электрон свободно движется через кристалл объемом Q или может быть захвачен одним из некоторого количества точечных центров. Каково распределение вероятностей его координат г? Упражнение. Два объема V1, V2 связаны друг с другом отверстием и содержат N невзаимодействующих молекул. Покажите, что вероятность найти п молекул В объеме V1 есть
PB = (1+T)"'vf 'I (1-1.5)
где Y — Vi/Vа (обобщенное биномиальное распределение, или распределение Бернулли).
Замечание. Много других упражнений можно найти в учебниках по элементарной теории вероятностей, например в кн.: J. R. Gray, Probability (Oliver and Boyd, Edinburgh, 1967).
Уточнение. В качестве альтернативного описания распределения вероятностей (в одномерном случае) вместо P (х) часто используется функция P (х), определенная как полная вероятность того, что X принимает любое значение <гх. Тогдй
Xi-O
Р(х)^ ^ P(x')dx',
~ CC
где верхний предел интегрирования показывает, что, если P имеет дельта-пик в точке X, он должен быть включен в интеграл *. Математики называют P функцией распределения вероятностей н предпочитают ее плотности вероятности Р, так как она не содержит дельта-пиков, имеет более простое поведение при преобразовании х, а также в силу привычки. Физики называют P кумулятивной функцией распределения, но предпочитают ей Р, потому что ее величина в точке х определена самим значением вероятности в х; кроме того, во многих приложениях P оказывается более простой функцией; еще одна причина состоит в том, что такой подход более тесно связан с устоявшимся описанием вероятности на дискретных множествах состояний и немалое значение имеют просто привычки. В частности, в многомерных распределениях, таких, как максвелловское распределение скоростей, P довольно неудобна. Далее повсюду мы будем использовать плотность вероятности P (х) и не будем бояться называть ее распределением вероятности или просто вероятностью.
Более общее и абстрактное рассмотрение дается аксиоматической теорией вероятностей **. Ось X заменяется множеством S, интервалы dx — подмножествами /1 cS, принадлежащими к соответственно определенному семейству
* Это, конечно произвольное условие; можно было бы определить P (х) как вероятность того, что X принимает значение меньшее, чем х.
** А. Kolmogoroff. Grundbergriffe der Wahrscheinlich heitsrechnung, Ergebn. Mathem. Grenzgeb. 2, по. 3 (Springer, Berlin, 19Г ^-Foundations of the Theoryof Probability/Chelsea Press. New York, 1950). Или любой учебник с большим математическим уклоном, например, [р. НО] или М. Loerf-. Probability Theory I and II (Springer, New York, 1977/78).
13 подмножеств. Распределение вероятностей ставит в соответствие неотрицательное число Р(Л) каждому А семейства, причем P(S)=I, и если А и В не пересекаются, то
Р(Л + В) = Р(Л)~ P(?).
Такую функцию множества называют вероятностной мерой. Стохастическая переменная ставит в соответствие подмножествам А множество чисел f(A). В соответствии с нашей программой мы не будем использовать этот подход, а будем пользоваться более конкретным языком.
Упражнение. Покажите, что P (х) должна быть монотонной неубывающей функцией с Р(—оо)=0 и Р(оо) = 1. Как это свойство переносится на функцию Р(Д) в последнем равенстве? Упражнение. В стране с несколькими политическими партиями проводится опрос общественного мнения. Какого объема нужно взять выборку, чтобы быть вполне уверенным, что партия, составляющая 5%, оказалась бы в ней с представительством между 4,5 и 5,5%? Упражнение. Томас Янг заметил, что если два разных языка содержат одинаковые слова, обозначающие одно и то же понятие, то отсюда еще нельзя сделать вывода, что языки связаны, так как это может быть простым совпадением *. В связи с этим он решил следующую «задачу о случайной встрече», или «задачу о совпадениях»: какова вероятность того, что случайная перестановка предметов не оставит ни одного предмета на месте? Естественно положить, что каждая перестановка имеет вероятность л!-1. Покажите, что искомая вероятность р как функция п подчиняется рекуррентному соотношению
