Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Ее разложение в ряд Тейлора по переменным k генерирует моменты
G (К k2,...,kr) = y ' 'т 1гГГ- ¦ •¦
О 1- 2- • г ¦
Кумулянты теперь будем обозначать двойными угловыми скобками, определив их следующим образом:
IogGOk1, A,.....M-I^y-f
о 2 г'
(1.3.7)
где штрих означает отсутствие члена со всеми т, одновременно равными нулю (обозначение с двойными скобками не является общепринятым, но удобно в случае нескольких переменных). Вторые моменты можно объединить в гхг-матрицу (XlXyy. Более важным понятием является матрица ковариаций
KKXiXfiy = <(Х,— <Х;» (Xj-KXfi) = KXiXfi-KXi; <Xfi. (1.3.8)
Ее диагональные элементы являются дисперсиями, а недиагональные элементы называют ковариацией или смешанными моментами второго порядка. Когда последние нормированы, их называют коэффициентами корреляции:
Р'7 К«х?» «X/» * Vr( Xf X,;2) (^х2>—<х;->-)"
Рассмотрим случай, когда г = 2; статистическая независимость выражается одним из следующих трех критериев:
1) вс^ моменты факторизуются: <ХТ'Х?'> = <Х7'> <Х'"г>;
2) характеристическая функция факторизуется:
G(kly k2)^G1(k1)G2(k2); (1.3.10)
21 3) кумулянты обращаются * нуль, когда обе вели-
чины Ot1 и т2 отличны от нуля.
Переменные X1, X2 называют некоррелированными, когда известно, что их ковариация равна нулю. Это условие является более слабым, чем статистическая независимость. Причина, по которой такое свойство имеет специальное название, состоит в том, что первый и второй моменты достаточно хорошо описывают многие конкретные случаи.
Упражнение. Рассмотрите частное распределение некоторого подмножества всех переменных. Выразите его моменты через моменты полного распределения, а его характеристическую функцию—через полную характеристическую функцию.
Упражнение. Докажите упомянутые выше три критерия статистической независимости и обобщите их на случай г переменных. Упражнение. Докажите, что —1«?р,у=?1. Докажите, что если р,у принимает значения 1 ИЛИ —1, переменные XXj связаны линейным соотношением. Упражнение. Покажите, что для любого множества X1, ..., Xr можно найти г линейных комбинаций
г
Yi=YaHxI (''=-1.....г)
J = '
таких, что новые переменные Y взаимно некоррелированы (процедура орто-гонализации И. Шмидта). Упражнение. Покажите, что каждый кумулянт . является
«изобарической» комбинацией моментов, j. е. линейной комбинацией произведений моментов, такой, что сумма показателей в каждом произведении одна и та же, а именно т1-\-т2-\г ... -\-тг. Упражнение. Докажите, что «независимость» подразумевает «некоррелированность», и постройте пример, показывающий, что обратное утверждение неверно.
Упражнение. Найдите моменты и кумулянты двумерного распределения Гаусса
—— {ах2+ -Ibxy+ су*) P (х, у) = COnst e 2 (ас— ft2 > 0, а > 0).
Покажите, что для этого распределения «некоррелированность» и «независимость» эквивалентны. Упражнение. Молекула может занимать различные уровни /I1, п2, ... с вероятностями pi, р2.....Предположим, ' что имеется N таких молекул. Вероятность найти следующие одним за другим уровни, занятые N1, N2, ... молекулами, дается мулыиноминальным распределением
PiN1, X2,...) д,! .V2I... ¦ (1.3.11)
Упражнение. Коэффициенты корреляции для трех переменных удовлетворяют условию
(1 +Р12) (1 +Різ) (1 + Р2з) (1 + ріг+ різ+ Раз)2-
Упражнение. Если распределение получено из серии наблюдений, оно часто имеет вид одного горба. Первый и второй кумулянты—это грубые показатели его положения и ширины. Дальнейшая информация о его форме содержится в его «асимметрии», определенной соотношением Уз = хз/х|'2 и его
22 «эксцессом» Y4-х4/х|. Докажите*, что
y1<Y4 + 2.
Упражнение. Многомерные факториальные моменты, обозначенные фигурными скобками, определены очевидным обобщением выражения (1.2.16):
(1.3.12)
Многомерные факториальные кумулянты, обозначенные квадратными скобками, определяются выражением
Iog(IlC-ZZy) = I.' (1-3.13)
Выразите несколько низших из них через моменты, в частности
1Х,Х/] = <Х/Х/>-<Хг><Ху>. (1.3.14)
Упражнение. Факториальный кумулянт суммы двух статистически независимых переменных является суммой их факториальных кумулянтов. Факториальный кумулянт, включающий два взаимно независимых набора переменных, равен нулю.
1.4. СЛОЖЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Пусть X1, X2—две переменные с совместным распределением Px(XllX2). Вероятность того, что К = X1+ X2 принимает значение между у и у +Ar/, составляет
Py (у) А у=- 5 S Рх х2) dx, dx2.
y<xt+x2 <у + Ау
Отсюда следует
Py (</)=-'SJfi(X1 + Xi-у) Px (X1, х2) Ax1 dX2= ^Px (хх, у—X1) dxx. (1.4.1) Если X1, X2 независимы, это соотношение превращается в следующее:
Py (У)-- \ Pxl(Xi) P XAy-X1) Лхи (1.4.2)
Таким образом, плотность вероятности суммы двух независимых переменных является сверткой их отдельных плотностей вероятности. Легко вывести следующие три правила, касающиеся моментов. Первое универсальное тождество
<Y> = <Xt> + <Х2>
утверждает: среднее суммы равно сумме средних, при этом не имеет значения, являются ли X1, X2 независимыми или нет. Второе правило состоит в том, что если X1, X2 некоррелированы, то
