Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
P (х) = С ехр
ух-Ax
Bx
(1.6.6)
Константу нормировки С находят с помощью (1.6.2) после преобразования к новым переменным, в которых А диагональна. В резуль-
* Однако Гауссу (1809) предшествовали Лаплас (1780) и де Нуавр (1733). Вводящее в заблуждение прилагательное «нормальное» было введено К. Пирсоном, который позднее сожалел об этом: Biometrika, 13, 25 (1920).
31 тате получаем
С —(2л)~r/2(Det А)"2 ехр [— у В-A-1B
(1.6.7)
Соответствующая характеристическая функция имеет вид
G (k) = ехр j -g- к • А~1 • k — ik А-1 В
(1.6.8)
(1.6.9а) (1.6.96)
.XiXj,.. (А-);/-
Отсюда следует, что матрица ковариаций, определенная в (1.3.8), для распределения Гаусса равна А-1. Следовательно, распределение Гаусса полностью определяется средними значениями переменных и их матрицей ковариаций. В частности, если переменные некоррели-рованы, матрица А-1 диагональна, но тогда и А также диаго-нальна; следовательно, переменные независимы. Таким образом, если известно, что совместное распределение гауссово, «некоррелированность» подразумевает «независимость» (ср. упражнение в § 1.3). Эта независимость всегда может быть получена с помощью линейного и даже ортогонального преобразования переменных.
Моменты многомерного распределения Гаусса с нулевым средним обладают замечательным свойством. Рассмотрим распределение (1.6.6) с B = 0. Мы запишем его характеристическую функцию в терминах Sj = Ikj- для того чтобы избавиться от нежелательного множителя І:
Для того чтобы найти момент (XiXjXk. . .у, нужно сгруппировать члены, пропорциональные SiSjSk... . Мы предполагаем, что число множителей четно и что индексы отличны друг от друга. Тогда члены, замененные многоточием в (1.6.10), не могут давать вклада. Следовательно, SiSjSk... может войти в (1.6.10) единственным способом в результате перемножения подходящих пар SflSq. С другой стороны, каждое произведение пар SpSq, которое составляет SiSjSjt. . обязательно встречается. Результат следующий:
Индексы р, q, и, V те же самые, что i, j, k, . . ., но разбитые попарно. Суммирование распространяется на все возможные способы, которыми i, /, k, .. . могут быть разбиты на пары. Множитель 1Z2 в (1.6.10) сокращается, потому что произведение в (1.6.10) содержит каждую пару дважды.
G (— Is1, — is2, . . ., — isr) = II ехр j <ХрХц> spsq ]
p. q 1 j
= (1-61°)
p. q < '
(Xr-XyXк ¦ • ¦ > — 2 ^ХрХцУ (X„XV>...
(1.6.11)
32 Упражнение. Константу нормировки С находят из соотношения
C-1^Jexp J"—-Ije-A-X-B-Jcj d'x.
Для того чтобы вычислить интеграл, нет необходимости использовать ортогональное преобразование х: можно использовать любое линейное преобразование, которое приводит матрицу А к диагональному виду. Выведите таким способом (1.6.7) « (1.6.8). Упражнение. Выполните следующий вывод соотношения (1.6.9). Сначала сдвиньте начало координат так, чтобы \Х,> = 0. Затем
V 'Х,Х/> Ajk = C [XlXjAjk ехр J"-- -I V ApvXpXgj
ArX =
ff j \ = CjA-Zi) ехр [ ] ArXt
которое после интегрирования по частям дает желаемый результат *. Упражнение, Кумулянты первого и второго порядков многомерного распределения Гаусса определены соотношениями (1.6.9). Докажите, что все кумулянты более высокого порядка равны нулю. Упражнение. Если X — многомерная гауссова переменная с нулевым средним значением, a f (X)— многочлен, то
а*/(^)-/
Упражнение. Стандартный вид двумерного распределения Гаусса с нулевым средним, аналогичный (1.6.3), следующий:
1 Iii^nJLiiI __!_
1 X'
"Ti —р ¦
2 I ох
(1.6.12)
P (Х, Il) =--ехр
2лахоу V I-P2 . 2Irt ' охо,, ' ст* j 1-р
Какой вид должна иметь аналогичная запись для п переменных? Упражнение. Для случая gx=olj=i, раскладывая (1.6.12), получаем
1 »
Р(х,у)^~е~ Yd Не,, (я) ¦ Не,, (у), (1.6.13)
/г = О
где Hen- полиномы Эрмита, определенные в кн.; MagnusW., ODerhettingerF. and Soni R. P. Formulas and Theorems for the Special Functions of Mathematical Physics (3 rd Ed; Springer, Berlin, 1966), p. 250.
1.7. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
Пусть X1, X2, ..., Xr — множество г независимых стохастических переменных, каждая из которых имеет одинаковую гауссову плотность вероятности Px (а-) с нулевым средним значением и дисперсией о2. Их сумма Y имеет следующую плотность вероятности:
Py (у) = [2пго*]-1<2 ехр
У'
2 га2
Тогда <У2> = го2 возрастает линейно с ростом г. С другой стороны, распределение среднего арифметического переменных X становится
* Onsager L. Phys. Rev. 38, 2265 (1931).
33 уже с увеличением г:
^X1 + *,+ ... -J-X/
Поэтому полезно определить соответствующим образом нормированную сумму
Xl-JrX, + ...+Xr V
Эта сумма имеет дисперсию а2 и, следовательно,
Pz (г) = [2яа] ~1/2 ехр (1.7.1)
Центральная предельная теорема утверждает, что если даже Px (х) не гауссовы, а какие-либо другие распределения с нулевыми средними и конечными дисперсиями а2, уравнение (1.7.1) остается справедливым в пределе г —оо. На этом замечательном факте основана определяющая роль распределения Гаусса во всех областях статистики.
